\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( (U \subseteq M, \phi)\): \(\in \{\text{ 全てのチャートたち }\}\)
\( m\): \(\in U\)
\( T_mM\): \(= \text{ におけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） } m\)
\( \phi (U)\): \(= \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d \text{ の当該オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\( \{\partial_j \vert_{\phi (m)} \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \(= T_{\phi (m)}\phi (U) \text{ に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
\(*\{\partial / \partial x^j \vert_m := d \phi^{-1} \vert_{\phi (m)} (\partial_j \vert_{\phi (m)}) \vert j \in \{1, ..., d\}\}\), \(\in \{T_mM \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(\{\partial_j \vert_{\phi (m)} \vert j \in \{1, ..., d\}\}\)は本当に\(T_{\phi (m)}\phi (U)\)に対するあるベーシス（基底）である、the proposition that for any open subset of \(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{H}^d\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対してスタンダード（標準）ベーシス（基底）があるという命題によって、ここで、\(\partial_j \vert_{\phi (m)}\)は\(\phi (m)\)における\(j\)-番目コンポーネントによるパーシャルデリバティブ（偏微分）である。
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）から任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のポイントイメージ（像）の任意のネイバーフッド（近傍）上への任意のディフェオモーフィズムに対して、当該ディフェオモーフィズムまたはその任意のコドメイン（余域）エクステンション（拡張）の当該ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(\{\partial / \partial x^j \vert_m := d \phi^{-1} \vert_{\phi (m)} (\partial_j \vert_{\phi (m)}) \vert j \in \{1, ..., d\}\}\)は\(T_mM\)に対するベーシス（基底）である、なぜなら、\(\phi^{-1}: \phi (U) \to U\)はディフェオモーフィズムである。
\(\partial / \partial x^j \vert_m\)はあたかもパーシャルデリバティブ（偏微分）であるかのように見えるが、そうではない、なぜなら、\(\partial / \partial x^j \vert_m \in T_mM\)であり、それはあるファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に作用する、\(\mathbb{R}^d\)やそのオープンサブセット（開部分集合）からのファンクション（関数）にではなく。
ディファレンシャルの定義によって、\(\partial / \partial x^j \vert_m (f) = \partial_j \vert_{\phi (m)} (f \circ \phi^{-1})\)、ここで、\(f \circ \phi^{-1}: \phi (U) \to \mathbb{R}\)。
