1036: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$(U\subseteq M,\varphi )$: $\in \{\text{ 全てのチャートたち }\}$
$m$: $\in U$
$T_{m}M$: $=\text{ におけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }m$
$\varphi (U)$: $={\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d\text{ の当該オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き }$
$\{{\partial }_j{|}_{\varphi (m)}|j\in \{1,...,d\}\}$: $=T_{\varphi (m)}\varphi (U)\text{ に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }$
$\ast \{\partial /\partial x^j{|}_m:=d{\varphi }^{-1}{|}_{\varphi (m)}({\partial }_j{|}_{\varphi (m)})|j\in \{1,...,d\}\}$, $\in \{T_{m}M\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
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コンディションたち:
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2: 注

$\{{\partial }_j{|}_{\varphi (m)}|j\in \{1,...,d\}\}$は本当に$T_{\varphi (m)}\varphi (U)$に対するあるベーシス（基底）である、the proposition that for any open subset of ${\mathbb{R}}^d$または${\mathbb{H}}^d$の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対してスタンダード（標準）ベーシス（基底）があるという命題によって、ここで、${\partial }_j{|}_{\varphi (m)}$は$\varphi (m)$における$j$-番目コンポーネントによるパーシャルデリバティブ（偏微分）である。

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）から任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のポイントイメージ（像）の任意のネイバーフッド（近傍）上への任意のディフェオモーフィズムに対して、当該ディフェオモーフィズムまたはその任意のコドメイン（余域）エクステンション（拡張）の当該ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、$\{\partial /\partial x^j{|}_m:=d{\varphi }^{-1}{|}_{\varphi (m)}({\partial }_j{|}_{\varphi (m)})|j\in \{1,...,d\}\}$は$T_{m}M$に対するベーシス（基底）である、なぜなら、${\varphi }^{-1}:\varphi (U)\to U$はディフェオモーフィズムである。

$\partial /\partial x^j{|}_m$はあたかもパーシャルデリバティブ（偏微分）であるかのように見えるが、そうではない、なぜなら、$\partial /\partial x^j{|}_m\in T_{m}M$であり、それはあるファンクション（関数）$f:M\to \mathbb{R}$に作用する、${\mathbb{R}}^d$やそのオープンサブセット（開部分集合）からのファンクション（関数）にではなく。

ディファレンシャルの定義によって、$\partial /\partial x^j{|}_m(f)={\partial }_j{|}_{\varphi (m)}(f\circ {\varphi }^{-1})$、ここで、$f\circ {\varphi }^{-1}:\varphi (U)\to \mathbb{R}$。

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参考資料

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