リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のグラディエント（傾き）の定義
話題
About: リーマニアンマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のグラディエント（傾き）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M, g)\): \(\in \{\text{ 全てのリーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( f\): \(: M \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ファンクション（関数）たち }\}\)
\(*grad f\): \(: M \to TM\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall m \in M (\forall v \in T_mM (g (grad f, v) = v f))\)
//
2: 注
したがって、"グラディエント（傾き）"は任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方においてのみ定義されている、ある\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方においてではなく。
\(grad f\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
それは本当に存在するのか？
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を任意のチャートとしよう。
\(grad f := \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l \partial / \partial x^j\)、ここで、\(\widetilde{g}\)は、\(g\)によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場）である、は、当該コンディションを満たすことを見よう。
\(g (grad f, v) = g_{m, n} d x^m \otimes d x^n (\widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l \partial / \partial x^j, v^a \partial / \partial x^a) = g_{m, n} d x^m (\widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l \partial / \partial x^j) d x^n (v^a \partial / \partial x^a) = g_{m, n} \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l v^a d x^m (\partial / \partial x^j) d x^n (\partial / \partial x^a) = g_{m, n} \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l v^a \delta^m_j \delta^n_a = g_{m, n} \widetilde{g}^{m, l} \partial f / \partial x^l v^n = \delta^l_n \partial f / \partial x^l v^n = \partial f / \partial x^l v^l = v^l \partial / \partial x^l f = v f\)。
それは、チャートたちの選択たちについて一貫性があることを見よう。
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)を\(m\)の周りの任意の他のチャートとしよう。
これ以降、私たちは多く任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題および任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を用いる。
\(U_m \cap U'_m\)上で、\(\widetilde{g}'^{m, n} = \partial x'^m / \partial x^j \partial x'^n / \partial x^l \widetilde{g}^{j, l}\)。
\(U_m \cap U'_m\)上で、\(\partial / \partial x'^n = \partial x^o / \partial x'^n \partial / \partial x^o\)。
したがって、\(\widetilde{g}'^{m, n} \partial f / \partial x'^n \partial / \partial x'^m = \partial x'^m / \partial x^j \partial x'^n / \partial x^l \widetilde{g}^{j, l} \partial x^o / \partial x'^n \partial f / \partial x^o \partial x^s / \partial x'^m \partial / \partial x^s = \partial x'^m / \partial x^j \partial x^s / \partial x'^m \partial x'^n / \partial x^l \partial x^o / \partial x'^n \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^o \partial / \partial x^s = \delta^s_j \delta^o_l \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^o \partial / \partial x^s\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個の任意のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立するという命題によって、\(= \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l \partial / \partial x^j\)。
したがって、\(grad f := \widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l \partial / \partial x^j\)は、\(M\)上方全体で一貫性を持って定義されている。
\(grad f\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、そのコンポーネントたちは\(\{\widetilde{g}^{j, l} \partial f / \partial x^l\}\)、それらは、\(\{x^l\}\)に関して\(C^\infty\)である。
したがって、少なくとも1個の\(grad f\)がある。
\(grad f\)はユニークに定義されていることを見よう。
\(V': M \to TM\)を、他の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）で\(g (V', v) = v f\)を満たすものとしよう。
\(g (grad f, v) - g (V', v) = v f - v f = 0\)、したがって、\(g (grad f - V', v) = 0\)。特に、\(v\)は\(grad f - V'\)であるように取ることができ、\(g (grad f - V', grad f - V') = 0\)、それが含意するのは、\(grad f - V' = 0\)、したがって、\(V' = grad f\)。
したがって、\(grad f\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
