トポロジカルスペース（空間）およびポイントに対して、ポイントのファイナイト（有限）個のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）はポイントのネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
\(\{N_{t, 1}, ..., N_{t, n}\}\): \(N_{t, n} \in \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j} \in \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）で\(N_{t, j}\)内に包含されている任意のものを\(U_{t, j}\)としよう; ステップ2: \(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(t \in \cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)であることを見る。
ステップ1:
各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(N_{t, j}\)内に包含されているもの\(U_{t, j}\)がある、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義の定義によって。
ステップ2:
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、ファイナイト（有限）個数のオープンサブセット（開部分集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)、なぜなら、\(U_{t, j} \subseteq N_{t, j}\)。
したがって、\(t \in \cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)、ここで、\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)はオープン（開）である。
したがって、\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)は\(t\)のネイバーフッド（近傍）である。
