トポロジカルスペース(空間)およびポイントに対して、ポイントのファイナイト(有限)個のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)はポイントのネイバーフッド(近傍)であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース(空間)上のポイントのネイバーフッド(近傍)の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト(有限)個の任意のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)は当該ポイントのネイバーフッド(近傍)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
\(\{N_{t, 1}, ..., N_{t, n}\}\): \(N_{t, n} \in \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド(近傍)たち }\}\)
//
ステートメント(言明)たち:
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j} \in \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド(近傍)たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t\)のオープンネイバーフッド(開近傍)で\(N_{t, j}\)内に包含されている任意のものを\(U_{t, j}\)としよう; ステップ2: \(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)は\(t\)のオープンネイバーフッド(開近傍)であり\(t \in \cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)であることを見る。
ステップ1:
各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(t\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)で\(N_{t, j}\)内に包含されているもの\(U_{t, j}\)がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントのネイバーフッド(近傍)の定義の定義によって。
ステップ2:
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)である、ファイナイト(有限)個数のオープンサブセット(開部分集合)たちのインターセクション(共通集合)として。
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)、なぜなら、\(U_{t, j} \subseteq N_{t, j}\)。
したがって、\(t \in \cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)、ここで、\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)はオープン(開)である。
したがって、\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)は\(t\)のネイバーフッド(近傍)である。