2025年7月6日日曜日

1190: トポロジカルスペース(空間)およびポイントに対して、ポイントのファイナイト(有限)個のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)はポイントのネイバーフッド(近傍)である

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トポロジカルスペース(空間)およびポイントに対して、ポイントのファイナイト(有限)個のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)はポイントのネイバーフッド(近傍)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト(有限)個の任意のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)は当該ポイントのネイバーフッド(近傍)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
\(\{N_{t, 1}, ..., N_{t, n}\}\): \(N_{t, n} \in \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド(近傍)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j} \in \{t \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド(近傍)たち }\}\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(t\)のオープンネイバーフッド(開近傍)で\(N_{t, j}\)内に包含されている任意のものを\(U_{t, j}\)としよう; ステップ2: \(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)は\(t\)のオープンネイバーフッド(開近傍)であり\(t \in \cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)であることを見る。

ステップ1:

各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(t\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)で\(N_{t, j}\)内に包含されているもの\(U_{t, j}\)がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントのネイバーフッド(近傍)の定義の定義によって。

ステップ2:

\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)である、ファイナイト(有限)個数のオープンサブセット(開部分集合)たちのインターセクション(共通集合)として。

\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)、なぜなら、\(U_{t, j} \subseteq N_{t, j}\)。

したがって、\(t \in \cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j} \subseteq \cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)、ここで、\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} U_{t, j}\)はオープン(開)である。

したがって、\(\cap_{j \in \{1, ..., n\}} N_{t, j}\)は\(t\)のネイバーフッド(近傍)である。


参考資料


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