2025年7月6日日曜日

1191: プロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、プロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)である

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プロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、プロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のプロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述1


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ アンカウンタブル(不可算)かもしれない全てのインデックスセット(集合)たち }\}\)
\(\{T_j \vert j \in J'\}\): \(T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(T'\): \(= \times_{j \in J'} T_j\)で、プロダクトトポロジーを持つもの
\(J\): \(\subseteq J'\)
\(T\): \(= \times_{j \in J} T_j\)で、プロダクトトポロジーを持つもの
\(f\): \(: T' \to T, t' \mapsto (j \mapsto t' (j))\), \(= \text{ 当該プロジェクション(射影) }\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス(連続)マップ(写像)たち }\}\)
//


2: 証明1


全体戦略: ステップ1: \(t' \in T'\)を任意のものとし、\(f (t')\)の任意のネイバーフッド(近傍)\(N_{f (t')}\)を取る; ステップ2: \(f (t')\)の以下を満たす任意のベーシック(基本)オープンネイバーフッド(開近傍)\(\times_{j \in J} U_j\)、つまり、\(f (t') \in \times_{j \in J} U_j \subseteq N_{f (t')}\)、を取る; ステップ3: 各\(j' \in J' \setminus J\)に対して、\(U_{j'} = T_{j'}\)を取り、\(U_{t'} := \times_{j' \in J'} U_{j'}\)を取り、\(U_{t'}\)は\(t'\)の\(T'\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)であり\(f (U_{t'}) \subseteq N_{f (t')}\)であることを見る。

ステップ1:

\(t' \in T'\)を任意のものとしよう。

\(f (t')\)の\(T\)上における任意のネイバーフッド(近傍)を\(N_{f (t')} \subseteq T\)としよう。

ステップ2:

\(f (t')\)の以下を満たすあるベーシック(基本)オープンネイバーフッド(開近傍)\(\times_{j \in J} U_j\)、つまり、\(f (t') \in \times_{j \in J} U_j \subseteq N_{f (t')}\)、ここで、\(U_j\)は\(f (t') (j)\)の\(T_j\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)、ここで、\(U_j\)たちの内のなんらかファイナイト(有限)個のものたちのみが\(T_j\)でない、がある、プロダクトトポロジーの定義によって。

ステップ3:

各\(j' \in J' \setminus J\)に対して、\(U_{j'} = T_{j'}\)を取ろう。

\(U_{t'} := \times_{j' \in J'} U_{j'} \subseteq T'\)を取ろう。

\(t' \in U_{t'}\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(t' (j) = f (t') (j) \in U_j\)、そして、各\(j' \in J' \setminus J\)に対して、\(t' (j') \in T_{j'} = U_{j'}\)。

\(U_{t'}\)は\(T'\)上でオープン(開)である、プロダクトトポロジーの定義によって: \(U_{j'}\)たちの内のなんらかファイナイト(有限)個のものたちだけが\(T_{j'}\)たちでない。

したがって、\(U_{t'}\)は\(t'\)の\(T'\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)である。

\(f (U_{t'}) \subseteq \times_{j \in J} U_j\)(実のところ、\(=\)が成立する、しかし、\(\subseteq\)で十分である、私たちの目的のためには)、なぜなら、各\(t'' \in U_{t'}\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(f (t'') (j) = t'' (j) \subseteq U_j\)。

したがって、\(f (U_{t'}) \subseteq \times_{j \in J} U_j \subseteq N_{f (t')}\)。


1: 構造化された記述2


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(J'\): \(= \{1, ..., n\}\)
\(\{T_1, ..., T_n\}\): \(T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(T'\): \(= T_1 \times ... \times T_n\)でプロダクトトポロジーを持つもの
\(J\): \(\subseteq J'\), \(= \{j_1, ..., j_m\}\)
\(T\): \(= T_{j_1} \times ... \times T_{j_m}\)でプロダクトトポロジーを持つもの
\(f\): \(: T' \to T, (t'^1, ..., t'^n) \mapsto (t'^{j_1}, ..., t'^{j_m})\), \(= \text{ 当該プロジェクション(射影) }\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス(連続)マップ(写像)たち }\}\)
//


4: 証明2


全体戦略: ステップ1: \(t' \in T'\)を任意のものとし、\(f (t')\)の任意のネイバーフッド(近傍)\(N_{f (t')}\)を取る; ステップ2: \(f (t')\)の以下を満たす任意のベーシック(基本)オープンネイバーフッド(開近傍)\(U_{j_1} \times ... \times U_{j_m}\)、つまり、\(f (t') \in U_{j_1} \times ... \times U_{j_m} \subseteq N_{f (t')}\)、を取る; ステップ3: 各\(j' \in J' \setminus J\)に対して、\(U_{j'} = T_{j'}\)を取り、\(U_{t'} := U_1 \times ... \times U_n\)を取り、\(U_{t'}\)は\(t'\)の\(T'\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)であり\(f (U_{t'}) \subseteq N_{f (t')}\)であることを見る。

ステップ1:

\(t' \in T'\)を任意のものとしよう。

\(f (t')\)の\(T\)上における任意のネイバーフッド(近傍)を\(N_{f (t')} \subseteq T\)としよう。

ステップ2:

\(f (t')\)の以下を満たすあるベーシック(基本)オープンネイバーフッド(開近傍)\(U_{j_1} \times ... \times U_{j_m}\)、つまり、\(f (t') \in U_{j_1} \times ... \times U_{j_m} \subseteq N_{f (t')}\)、ここで、\(U_{j_l}\)は\((f (t'))^{j_l}\)の\(T_{j_l}\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)、がある、プロダクトトポロジーの定義によって。

ステップ3:

各\(j' \in J' \setminus J\)に対して、\(U_{j'} = T_{j'}\)を取ろう。

\(U_{t'} := U_1 \times ... \times U_n \subseteq T'\)を取ろう。

\(t' \in U_{t'}\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(t'^j = (f (t'))^j \in U_j\)、そして、各\(j' \in J' \setminus J\)に対して、\(t'^{j'} \in T_{j'} = U_{j'}\)。

\(U_{t'}\)は\(T'\)上でオープン(開)である、プロダクトトポロジーの定義によって。

したがって、\(U_{t'}\)は\(t'\)の\(T'\)上におけるオープンネイバーフッド(開近傍)である。

\(f (U_{t'}) \subseteq U_{j_1} \times ... \times U_{j_m}\)(実のところ、\(=\)が成立する、しかし、\(\subseteq\)で十分である、私たちの目的のためには)、なぜなら、各\(t'' \in U_{t'}\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\((f (t''))^j = t''^j \subseteq U_j\)。

したがって、\(f (U_{t'}) \subseteq U_{j_1} \times ... \times U_{j_m} \subseteq N_{f (t')}\)。


参考資料


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