\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルの視覚化の記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の任意のコベクトルのある視覚化の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(t\): \(\in {T_mM}^*\)で\(t \neq 0\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(t\)は、\(t\)が作用して1となるタンジェント（接）ベクトルたちのトレース\(t^{-1} (1) \subset T_mM\)、それは\(T_mM\)上のあるハイパープレーン（超平面）である、として視覚化できる。
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: タンジェント（接）ベクトルたちの視覚化を理解する: ステップ2: いかなる矢印も\(t\)を視覚化しないことを見る; ステップ3: \(t\)が作用して1となるタンジェント（接）ベクトルたちのトレースは\(t\)を特徴づけることを見る; ステップ4: \(t^{-1} (1)\)は\(T_mM\)上のあるハイパープレーン（超平面）であることを見る。
ステップ1:
通常、\(m\)におけるあるタンジェント（接）ベクトル\(v\)は、\(m\)で開始するある矢印として視覚化される。
それは何を意味するのか？
\(v\)は、ある\(C^\infty\)カーブで\(m\)を通るものによって代表され、当該矢印は当該カーブに\(m\)においてタンジェント（接する）であり、長さは当該カーブの\(m\)におけるスピードである。
したがって、当該矢印は\(v\)を代表する。
ステップ2:
\(t\)はある矢印として視覚化できるだろうか、同様に？
問題は、\(t\)はいかなるカーブによっても代表されていないことであり、したがって、\(v\)に対する当該ロジックは\(t\)には適用されない、全く。
したがって、私たちは、\(t\)をある矢印によって代表させるいかなる正当性も見ない。
ステップ3:
私たちのゴールは、\(t\)をあるグラフィカルな様式にて特徴づけることである。
コベクトルの定義によると、\(t\)は、\(t\)がいかにタンジェント（接）ベクトルたちに作用するかによって特徴づけられる。
当該作用はリニア（線形）であるから、もしも、\(t (v) = 1\)である場合、\(t (r v) = r\)、そして、\(t\)がいかに\(r v\)に作用するかは自然に想像される。
したがって、\(S_t := t^{-1} (1) \subset T_mM\)のことを考えよう。
\(S_t\)は、\(m\)におけるいくつかのタンジェント（接）ベクトルたちのあるセット（集合）であり、それは、当該矢印たちのセット（集合）として視覚化される。
したがって、当該矢印たちのトレースは視覚的に\(t\)を視覚的する。
ステップ4:
\(t^{-1} (1)\)は\(T_mM\)上のあるハイパープレーン（超平面）である、それが意味するのは、それは、\(T_mM\)のある'\(d - 1\)'-ディメンショナル（次元）アファインサブスペース（部分空間）であること、それが意味するのは、ある\(v_0 \in t^{-1} (1)\)に対して、\(V := \{v - v_0 \vert v \in t^{-1} (1)\}\)は\(T_mM\)のある'\(d - 1\)'-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であること: \(t^{-1} (1)\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）ではない、なぜなら、\(0 \notin t^{-1} (1)\)。
\(V = t^{-1} (0)\)であることを見よう。
各\(v' \in V\)に対して、\(v' = v - v_0\)、そして、\(t (v') = t (v - v_0) = t (v) - t (v_0) = 1 - 1 = 0\)。したがって、\(v \in t^{-1} (0)\)。
各\(v' \in t^{-1} (0)\)に対して、\(v' = v' + v_0 - v_0\)、そして、\(t (v') = t (v' + v_0 - v_0) = t (v' + v_0) - t (v_0) = t (v' + v_0) - 1 = 0\)、したがって、\(t (v' + v_0) = 1\)、したがって、\(v := v' + v_0 \in t^{-1} (1)\)、したがって、\(v' = v - v_0 \in V\)。
\(V\)は\(T_mM\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見よう。
各\(v_1, v_2 \in V\)および各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\(t (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 t (v_1) + r_2 t (v_2) = r_1 0 + r_2 0 = 0\): \(V = t^{-1} (0)\)。
\(V\)は'\(d - 1\)'-ディメンショナル（次元）であることを見よう。
任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に対して、各\(v \in V\)に対して、\(t (v) = t_j v^j = 0\)。
\(t \neq 0\)であるから、\(t_l \neq 0\)、ある\(l\)に対して。
したがって、\(v^l = (- \sum_{j \neq l} t_j v^j) / t_l\)、ここで、\(\{v^j \vert j \neq l\}\)は恣意的に取ることができる、\(d - 1\)個のフリーな変数たちを持って。
したがって、\(V\)は'\(d - 1\)'-ディメンショナル（次元）である。
3: 注
例えば、\(M = S^2\)に対して、\(t^{-1} (1)\)は円になることはない、なぜなら、そうであれば、\(V\)は\(T_mM\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）ではないだろう。
