トポロジカルスペース（空間）たち間のバイジェクション（全単射）でベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素にマップし、ベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素へマップし返すものは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のバイジェクション（全単射）で各ベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素にマップし、各ベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素へマップし返すものは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(B_1\): \(\in \{T_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B_2\): \(\in \{T_2 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall b_1 \in B_1 (f (b_1) \in B_2) \land \forall b_2 \in B_2 (f^{-1} (b_2) \in B_1)\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(t_1 \in T_1\)および\(f (t_1)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{f (t_1)} \subseteq T_2\)を取り、\(B_1\)のある要素で\(f\)が\(N_{f (t_1)}\)の中へマップするものを選ぶ; ステップ2: 状況は\(f^{-1}\)に対して対称であることを見る。
ステップ1:
\(t_1 \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(f (t_1)\)の任意のネイバーフッド（近傍）を\(N_{f (t_1)} \subseteq T_2\)としよう。
以下を満たすある\(b_2 \in B_2\)、つまり、\(f (t_1) \in b_2 \subseteq N_{f (t_1)}\)、がある、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義によって。
\(f^{-1} (b_2) \in B_1\)、仮定によって。
\(t_1 \in f^{-1} (b_2)\)、なぜなら、\(f (t_1) \in b_2\)。
\(f^{-1} (b_2) \subseteq T_1\)はオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(f^{-1} (b_2)\)は\(t_1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(f (f^{-1} (b_2)) = b_2\)、なぜなら、\(f\)はバイジェクション（全単射）である、\(\subseteq N_{f (t_1)}\)。
したがって、\(f\)は\(t_1\)においてコンティニュアス（連続）である、しかし、\(t_1\)は恣意的であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ2:
状況は、\(f^{-1}\)に対して対称である、したがって、\(f^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
