コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で任意のスカラーマルチプリケーション（乗法）\(.: \mathbb{C} \times V \to V\)および任意のアディション（加法）\(+: V \times V \to V\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でリストリクテッド（制限された）スカラーマルチプリケーション（乗法）\(.': \mathbb{R} \times V \to V = . \vert_{\mathbb{R} \times V}\)およびアディション（加法）\(+: V \times V \to V\)を持つもの
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)で\(.'\)および\(+\)を持つものは、ベクトルたちスペース（空間）であるためのコンディションを満たすことを見る。
ステップ1:
\(V\)で\(.'\)および\(+\)を持つものはベクトルたちスペース（空間）であるためのコンディションを満たすことを見よう。
1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(v_1 + v_2 \in V\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: 当該リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)と同じである、その一方で、\(v_1 + v_2 \in V\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して満たされる。
2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: 当該リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)と同じである、その一方で、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して満たされる。
3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in V\)に対して、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 当該リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)と同じである、その一方で、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して満たされる。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in V\)、つまり、任意の\(v \in V\)に対して、\(v + 0 = v\)（0ベクトルの存在）: 当該リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)と同じである、その一方で、\(v + 0 = v\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して満たされる。
5) 任意の要素\(v \in V\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in V\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: 当該リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対する\(+\)と同じである、その一方で、\(v' + v = 0\)は当該コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して満たされる。
6) 任意の要素\(v \in V\)および任意のスカラー\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(r .' v \in V\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(r \in \mathbb{C}\)、そして、\(r .' v = r . v \in V\)。
7) 任意の要素\(v \in V\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(r_1, r_2 \in \mathbb{C}\)、\(r_1 + r_2 \in \mathbb{C}\)、\((r_1 + r_2) .' v = (r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v = r_1 .' v + r_2 .' v\)。
8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)および任意のスカラー\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(r \in \mathbb{C}\)、\(r .' (v_1 + v_2) = r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2 = r .' v_1 + r .' v_2\)。
9) 任意の要素\(v \in V\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(r_1, r_2 \in \mathbb{C}\)、\(r_1 r_2 \in \mathbb{C}\)、\((r_1 r_2) .' v = (r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v) = r_1 .' (r_2 .' v)\)。
10) 任意の要素\(v \in V\)に対して、\(1 . v = v\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: \(1 \in \mathbb{C}\)、\(1 .' v = 1 . v = v\)。
