ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{V \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
\(\sim\): \(\subseteq S \times S\), \(= S \text{ 上のイクイバレンスリレーション（同値関係） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 \sim s_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対する任意のベーシス（基底）を取り、カノニカル（正典）バイジェクション（全単射）\(g: V \to \mathbb{R}^{2 d}\)を取る; ステップ2: \(V\)上の各ノルムに対して、カノニカル（正典）ノルムが\(\mathbb{R}^{2 d}\)上にインデュースト（誘導された）であることを見る; ステップ3: \(\mathbb{R}^{2 d}\)上の任意の2個のインデュースト（誘導された）ノルムたちはイクイバレント（等値）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, ..., b_d\}\)を取ろう。
当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）バイジェクション（全単射）\(g: V \to \mathbb{R}^{2 d}: V \to \mathbb{C}^d \to \mathbb{R}^{2 d}, v = v^j b_j \mapsto (v^1 = w^1 + x^1 i, ..., v^d = w^d + x^d i) \mapsto (w^1, x^1, ..., w^d, x^d)\)がある。
\(\mathbb{R}^{2 d}\)をユークリディアンベクトルたちスペース（空間）と見なそう。
\(g^{-1}: \mathbb{R}^{2 d} \to V\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）であることを見よう: \(V\)は\(\mathbb{R}\)-ベクトルたちスペース（空間）と見なせる、任意のコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができるという命題によって。
各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)および各\(u_1, u_2 \in \mathbb{R}^{2 d}\)に対して、\(g^{-1} (r_1 u_1 + r_2 u_2) = g^{-1} (r_1 (w_1^1, x_1^1, ..., w_1^d, x_1^d) + r_2 (w_2^1, x_2^1, ..., w_2^d, x_2^d)) = g^{-1} (r_1 w_1^1 + r_2 w_2^1, r_1 x_1^1 + r_2 x_2^1, ..., r_1 w_1^d + r_2 w_2^d, r_1 x_1^d + r_2 x_2^d) = ((r_1 w_1^1 + r_2 w_2^1) + (r_1 x_1^1 + r_2 x_2^1) i) b_1 + ... + ((r_1 w_1^d + r_2 w_2^d) + (r_1 x_1^d + r_2 x_2^d) i) b_d = (r_1 w_1^1 + r_1 x_1^1 i) b_1 + ... + (r_1 w_1^d + r_1 x_1^d i) b_d + (r_2 w_2^1 + r_2 x_2^1 i) b_1 + ... + (r_2 w_2^d + r_2 x_2^d i) b_d = r_1 ((w_1^1 + x_1^1 i) b_1 + ... + (w_1^d + x_1^d i) b_d) + r_2 ((w_2^1 + x_2^1 i) b_1 + ... + (w_2^d + x_2^d i) b_d) = r_1 g^{-1} (w_1^1, x_1^1, ..., w_1^d, x_1^d) + r_2 g^{-1} (w_2^1, x_2^1, ..., w_2^d , x_2^d) = r_1 g^{1} (u_1) + r_2 g^{1} (u_2)\)。
ステップ2:
任意の\(s_k \in S\)を取ろう。
\(\mathbb{R}^{2 d}\)上の、\(s_k\)によって\(g\)の下でインデュースト（誘導された）ノルム\(t_k: \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{R}, u \mapsto s_k (g^{-1} (u))\)を取ろう。
\(t_k\)は本当にノルムであることを見よう: \(g^{-1}\)の\(\mathbb{R}\)-リニアリティ（線形性）が使われる。
1) \((0 \le t_k (u_1)) \land ((0 = t_k (u_1)) \iff (u_1 = 0))\): \(0 \le s_k (g^{-1} (u_1)) = t_k (u_1)\); もしも、\(u_1 = 0\)である場合、\(g^{-1} (u_1) = 0\)、したがって、\(t_k (u_1) = s_k (g^{-1} (u_1)) = 0\)、そして、もしも、\(t_k (u_1) = s_k (g^{-1} (u_1)) = 0\)である場合、\(g^{-1} (u_1) = 0\)、したがって、\(u_1 = 0\)。
2) \(t_k (r u_1) = \vert r \vert t_k (u_1)\): \(t_k (r u_1) = s_k (g^{-1} (r u_1)) = s_k (r g^{-1} (u_1)) = \vert r \vert s_k (g^{-1} (u_1)) = \vert r \vert t_k (u_1)\)。
3) \(t_k (u_1 + u_2) \le t_k (u_1) + t_k (u_2)\): \(t_k (u_1 + u_2) = s_k (g^{-1} (u_1 + u_2)) = s_k (g^{-1} (u_1) + g^{-1} (u_2)) \le s_k (g^{-1} (u_1)) + s_k (g^{-1} (u_2)) = t_k (u_1) + t_k (u_2)\)。
したがって、\(t_k\)は\(\mathbb{R}^{2 d}\)上のノルムである。
ステップ3:
各\(s_j, s_l \in S\)に対して、\(t_j\)と\(t_l\)はイクイバレント（等値）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題によって。
ステップ4:
したがって、以下を満たす何らかの\(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt c_1, c_2\)で、各\(v \in V\)に対して\(c_1 t_l (g (v)) \le t_j (g (v)) \le c_2 t_l (g (v))\)、がある。
それが意味するのは、\(c_1 s_l (g^{-1} (g (v))) \le s_j (g^{-1} (g (v))) \le c_2 s_l (g^{-1} (g (v)))\)、それが意味するのは、\(c_1 s_l (v) \le s_j (v) \le c_2 s_l (v)\)。
それが意味するのは、\(s_j\)と\(s_l\)はイクイバレント（等値）であるということ。
