ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）ノルム付きコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert: V \to \mathbb{R}\)を持ち、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(f'\): \(: V \to \mathbb{R}, v \mapsto \Vert v \Vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を取り、各\(v = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j b_j \in V\)に対して、\(\Vert v \Vert \le C (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert^2)^{1 / 2}\)、ここで、\(C\)は\(v\)に依存しない、であることを見る; ステップ2: \(\Vert v \Vert\)周りの各オープンボール（開球）\(B_{\Vert v \Vert, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)に対して、\(v\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_v\)、つまり、\(f' (U_v) \subseteq B_{\Vert v \Vert, \epsilon}\)、を取る。
ステップ1:
任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\)を取ろう。
\(v = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j b_j \in V\)を任意のものとしよう。
\(\Vert v \Vert = \Vert \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j b_j \Vert \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \Vert v^j b_j \Vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert \Vert b_j \Vert\)、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義によって。\(\le max (\{\Vert b_j \Vert\}) max (\{\vert v^j \vert\}) d\)。
\(max (\{\vert v^j \vert\}) \le (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert^2)^{1 / 2}\)。
したがって、\(\Vert v \Vert \le max (\{\Vert b_i \Vert\}) d (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert^2)^{1 / 2} = C (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert^2)^{1 / 2}\)、ここで、\(C := max (\{\Vert b_i \Vert\}) d\)、それは、\(v\)に依存しない。
ステップ2:
\(f: V \to \mathbb{C}^d \to \mathbb{R}^{2 d}, v = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v^j b_j \mapsto (v^1 = w^1 + x^1 i, ..., v^d = w^d + x^d i) \mapsto (w^1, x^1, ..., w^d, x^d)\)を、それによってカノニカル（正典）トポロジーが定義されているマップ（写像）としよう。
任意のオープンボール（開球）\(B_{\Vert v \Vert, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)に対して、\(\delta = \epsilon / C\)および\(v\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_v = \{p \in V \vert f (p) \in B_{f (v), \delta}\} \subseteq V\)を取ろう、それは本当に\(v\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(f (U_v) = B_{f (v), \delta} \subseteq \mathbb{R}^{2 d}\)、\(\mathbb{R}^{2 d}\)上でオープン（開）。
各\(v' = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} v'^j b_j \in U_v\)に対して、\(\Vert v' - v \Vert \le C (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v'^j - v^j \vert^2)^{1 / 2} = C (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert w'^j + x'^j i - w^j - x^j i \vert^2)^{1 / 2} = C (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert (w'^j - w^j) + (x'^j - x^j) i \vert^2)^{1 / 2} = C (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (w'^j - w^j)^2 + (x'^j - x^j)^2)^{1 / 2} \lt C \delta = \epsilon\)。
\(\vert \Vert v' \Vert - \Vert v \Vert \vert \le \Vert v' - v \Vert\)、なぜなら、\(\Vert v' \Vert = \Vert v' - v + v \Vert \le \Vert v' - v \Vert + \Vert v \Vert\)、したがって、\(\Vert v' \Vert - \Vert v \Vert \le \Vert v' - v \Vert\)、そして、同様に、\(\Vert v \Vert - \Vert v' \Vert \le \Vert v' - v \Vert\)。
したがって、\(\vert f' (v') - f' (v) \vert = \vert \Vert v' \Vert - \Vert v \Vert \vert \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(f' (U_x) \subseteq B_{\Vert v \Vert, \epsilon}\)、それが意味するのは、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）であり、したがって、コンティニュアス（連続）である、ということ。
