オープンマップ（開写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）は必ずしもオープン（開）でないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるオープンマップ（開写像）のあるドメイン（定義域）リストリクション（制限）は必ずしもオープン（開）でないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: T'_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
\(T_1\): \(\in \{T'_1 \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2, t_1 \mapsto f' (t_1)\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: ある反例を見る。
ステップ1:
\(T'_1 = \mathbb{R}\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、\(T_1 = [0, 1) \subseteq T'_1\)、\(T_2 = \mathbb{R}\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、\(f' = id\)としよう。
\(f'\)はオープンマップ（開写像）である、なぜなら、それはアイデンティティマップ（恒等写像）である。
\([0, 1) \subseteq T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、しかし、\(f ([0, 1)) = [0, 1) \subseteq T_2\)は\(T_2\)上でオープン（開）でない。
3: 注
任意のオープンマップ（開写像）の任意のオープンサブスペース（開部分空間）に関するドメイン（定義域）リストリクション（制限）はオープン（開）であるという命題と比較のこと。
