オープンマップ(開写像)のオープンサブスペース(開部分空間)に関するドメイン(定義域)リストリクション(制限)はオープン(開)であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープンマップ(開写像)の任意のオープンサブスペース(開部分空間)に関するドメイン(定義域)リストリクション(制限)はオープン(開)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(T'_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(f'\): \(: T'_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのオープンマップ(開写像)たち }\}\)
\(T_1\): \(\in \{T'_1 \text{ の全てのオープン(開)トポロジカルサブスペース(部分空間)たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2, t_1 \mapsto f' (t_1)\)
//
ステートメント(言明)たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ(開写像)たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各オープンサブセット(開部分集合)\(U_1 \subseteq T_1\)に対して、\(f (U_1) \subseteq T_2\)はオープン(開)であることを見る。
ステップ1:
\(U_1 \subseteq T_1\)を任意のオープンサブセット(開部分集合)としよう。
\(U_1 \subseteq T'_1\)は\(T'_1\)上でオープン(開)である、任意のトポロジカルスペース(空間)およびそれをベーススペース(空間)としてオープン(開)である任意のトポロジカルサブスペース(部分空間)に対して、サブスペース(部分空間)の任意のサブセット(部分集合)はサブスペース(部分空間)上でオープン(開)である、もしも、それがベーススペース(空間)でオープン(開)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f (U) = f' (U) \subseteq T_2\)は\(T_2\)上でオープン(開)である。
3: 注
あるオープンマップ(開写像)のあるドメイン(定義域)リストリクション(制限)は必ずしもオープン(開)でないという命題と比較のこと。