ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）を取り、各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取ることは、ノルムであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り、各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取ることは、ノルムであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{F \text{ 上方の全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_1, ..., b_d\}\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(\Vert \bullet \Vert\): \(: V \to \mathbb{R}, v = v^j b_j \mapsto \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\Vert \bullet \Vert \in \{V \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\Vert \bullet \Vert\)はノルムであるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(v_1, v_2 \in V\)を任意のものとし、\(r \in F\)を任意のものとしよう。
1) \((0 \le \Vert v_1 \Vert) \land ((0 = \Vert v_1 \Vert) \iff (v_1 = 0))\): \(\Vert v_1 \Vert = \Vert {v_1}^j b_j \Vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_1}^j \vert\)、したがって、\(0 \le \Vert v_1 \Vert\); \(v_1 = 0\)である時、\({v_1}^j = 0\)、各\(j\)に対して、したがって、\(\vert {v_1}^j \vert = 0\)、各\(j\)に対して、したがって、\(\Vert v_1 \Vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_1}^j \vert = 0\)、その一方で、\(\Vert v_1 \Vert = 0\)である時、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_1}^j \vert = 0\)、したがって、\(\vert {v_1}^j \vert = 0\)、各\(j\)に対して、したがって、\({v_1}^j = 0\)、各\(j\)に対して、したがって、\(v_1 = 0\)。
2) \(\Vert r v_1 \Vert = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\): \(\Vert r v_1 \Vert = \Vert r {v_1}^j b_j \Vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert r {v_1}^j \vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert r \vert \vert {v_1}^j \vert = \vert r \vert \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_1}^j \vert = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\)。
3) \(\Vert v_1 + v_2 \Vert \le \Vert v_1 \Vert + \Vert v_2 \Vert\): \(\Vert v_1 + v_2 \Vert = \Vert {v_1}^j b_j + {v_2}^j b_j \Vert = \Vert ({v_1}^j + {v_2}^j) b_j \Vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_1}^j + {v_2}^j \vert \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (\vert {v_1}^j \vert + \vert {v_2}^j \vert) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_1}^j \vert + \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {v_2}^j \vert = \Vert v_1 \Vert + \Vert v_2 \Vert\)。
