グループ（群）左アクションに対応するグループ（群）右アクションの定義
話題
About: グループ（群）
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）左アクションの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）右アクションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）左アクションに対応するグループ（群）右アクションの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{ \text{ 全てのグループ（群）たち } \}\)
\( S\): \(\in \{ \text{ 全てのセット（集合）たち } \}\)
\( f\): \(: G \times S \to S\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）左アクションたち }\}\)
\(*f'\): \(: S \times G \to S, (s, g) \mapsto f (g^{-1}, s)\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）右アクションたち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(f'\)は本当にグループ（群）右アクションであることを見よう。
各\(g_1, g_2 \in G\)および各\(s \in S\)に対して、\(f' (f' (s, g_1), g_2) = f' (f (g_1^{-1}, s), g_2) = f (g_2^{-1}, f (g_1^{-1}, s)) = f (g_2^{-1} g_1^{-1}, s) = f ((g_1 g_2)^{-1}, s) = f' (s, g_1 g_2)\)。
各\(s \in S\)に対して、\(f' (s, 1) = f (1^{-1}, s) = f (1, s) = s\)。
注意として、\(f\)それ自体は、グループ（群）右アクションとみなすことはできない; 私たちは、\(f\)からグループ（群）右アクションを構成したのである: 'グループ（群）左アクション'は、単に\(S \times G\)の代わりに\(G \times S\)と表記するという問題ではない: \(f'': S \times G \to S, (s, g) \mapsto f (g, s)\)はグループ（群）右アクションではない、なぜなら、\(f'' (f'' (s, g_1), g_2) = f'' (f (g_1, s), g_2) = f (g_2, f (g_1, s)) = f (g_2 g_1, s) = f'' (s, g_2 g_1)\)、それは\(f'' (s, g_1 g_2)\)に等しくない、一般に。
