トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T \to \mathbb{C}\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert f \vert: T \to \mathbb{R}, t \mapsto \vert f (t) \vert \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g_1: \mathbb{C} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}, a + b i \mapsto (a, b)\)、\(g_2: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, (a, b) \mapsto a^2 + b^2\)、\(g_3: [0, \infty) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, r \mapsto \sqrt{r}\)を取り、それらはコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: \(\vert f \vert = g_3 \circ g_2 \circ g_1 \circ f\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(g_1: \mathbb{C} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}, a + b i \mapsto (a, b)\)を取ろう。
\(g_2: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, (a, b) \mapsto a^2 + b^2\)を取ろう。
\(g_3: [0, \infty) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, r \mapsto \sqrt{r}\)を取ろう。
\(g_1\)はコンティニュアス（連続）である、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義によって。
\(g_2\)はコンティニュアス（連続）である、よく知られている事実として。
\(g_3\)はコンティニュアス（連続）である、よく知られている事実として。
ステップ2:
\(\vert f \vert = g_3 \circ g_2 \circ g_1 \circ f\)であることを見よう。
各\(t \in T\)に対して、\(g_3 \circ g_2 \circ g_1 \circ f: t \mapsto f (t) = a + b i \mapsto (a, b) \mapsto a^2 + b^2 \mapsto \sqrt{a^2 + b^2} = \vert f (t) \vert\)。
ステップ3:
\(\vert f \vert\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
