コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*\mathbb{C}^d\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアンセット（集合） }\)で、下で指定される\(\mathbb{C}\)-スカラーマルチプリケーション（乗法）およびアディション（加法）を持つもの、\(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall r = (r^1, ..., r^d) \in \mathbb{C}^d, \forall s \in \mathbb{C} (s r = (s r^1, ..., s r^d))\)
\(\land\)
\(\forall r = (r^1, ..., r^d), r' = (r'^1, ..., r'^d) \in \{\mathbb{C}^d\} (r + r' = (r^1 + r'^1, ..., r^d + r'^d))\)
//
2: 注
\(\mathbb{C}^d\)は、\(\mathbb{C}\)ベクトルたちスペース（空間）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
1) \(\forall v_1, v_2 \in \mathbb{C}^d (v_1 + v_2 \in \mathbb{C}^d)\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \(v_1 = ({v_1}^1, ..., {v_1}^d)\)および\(v_2 = ({v_2}^1, ..., {v_2}^d)\)、そして、\(v_1 + v_2 = ({v_1}^1 + {v_2}^1, ..., {v_1}^d + {v_2}^d) \in \mathbb{C}^d\)。
2) \(\forall v_1, v_2 \in \mathbb{C}^d (v_1 + v_2 = v_2 + v_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(v_1 = ({v_1}^1, ..., {v_1}^d)\)および\(v_2 = ({v_2}^1, ..., {v_2}^d)\)、そして、\(v_1 + v_2 = ({v_1}^1 + {v_2}^1, ..., {v_1}^d + {v_2}^d) = ({v_2}^1 + {v_1}^1, ..., {v_2}^d + {v_1}^d) = v_2 + v_1\)。
3) \(\forall v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{C}^d ((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(v_1 = ({v_1}^1, ..., {v_1}^d)\)、\(v_2 = ({v_2}^1, ..., {v_2}^d)\)、そして、\(v_3 = ({v_3}^1, ..., {v_3}^d)\)、そして、\((v_1 + v_2) + v_3 = ({v_1}^1 + {v_2}^1, ..., {v_1}^d + {v_2}^d) + ({v_3}^1, ..., {v_3}^d) = ({v_1}^1 + {v_2}^1 + {v_3}^1, ..., {v_1}^d + {v_2}^d + {v_3}^d) = ({v_1}^1, ..., {v_1}^d) + ({v_2}^1 + {v_3}^1, ..., {v_2}^d + {v_3}^d) = v_1 + (v_2 + v_3)\)。
4) \(\exists 0 \in \mathbb{C}^d (\forall v \in \mathbb{C}^d (v + 0 = v))\)（0要素の存在）: \(0 = (0, ..., 0) \in \mathbb{C}^d\)および\(v = (v^1, ..., v^d)\)、そして、\(v + 0 = (v^1 + 0, ..., v^d + 0) = (v^1, ..., v^d) = v\)。
5) \(\forall v \in \mathbb{C}^d (\exists v' \in \mathbb{C}^d (v' + v = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）: \(v = (v^1, ..., v^d)\)および\(v' := - v = (- v^1, ..., - v^d) \in \mathbb{C}^d\)、そして、\(v' + v = (- v^1 + v^1, ..., - v^d + v^d) = (0, ..., 0) = 0\)。
6) \(\forall v \in \mathbb{C}^d, \forall r \in \mathbb{C} (r . v \in \mathbb{C}^d)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(v = (v^1, ..., v^d)\)、そして、\(r . v = (r v^1, ..., r v^d) \in \mathbb{C}^d\)。
7) \(\forall v \in \mathbb{C}^d, \forall r_1, r_2 \in \mathbb{C}^d ((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(v = (v^1, ..., v^d)\)、そして、\((r_1 + r_2) . v = (r_1 + r_2) (v^1, ..., v^d) = ((r_1 + r_2) v^1, ..., (r_1 + r_2) v^d) = (r_1 v^1 + r_2 v^1, ..., r_1 v^d + r_2 v^d) = (r_1 v^1, ..., r_1 v^d) + (r_2 v^1, ..., r_2 v^d) = r_1 (v^1, ..., v^d) + r_2 (v^1, ..., v^d) = r_1 . v + r_2 . v\)。
8) \(\forall v_1, v_2 \in \mathbb{C}^d, \forall r \in \mathbb{C}^d (r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(v_1 = ({v_1}^1, ..., {v_1}^d)\)および\(v_2 = ({v_2}^1, ..., {v_2}^d)\)、そして、\(r . (v_1 + v_2) = r ({v_1}^1 + {v_2}^1, ..., {v_1}^d + {v_2}^d) = (r ({v_1}^1 + {v_2}^1), ..., r ({v_1}^d + {v_2}^d)) = (r {v_1}^1, ..., r {v_1}^d) + (r {v_2}^1, ..., r {v_2}^d) = r ({v_1}^1, ..., {v_1}^d) + r ({v_2}^1, ..., {v_2}^d) = r . v_1 + r . v_2\)。
9) \(\forall v \in \mathbb{C}^d, \forall r_1, r_2 \in \mathbb{C}^d ((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(v = (v^1, ..., v^d)\)、そして、\((r_1 r_2) . v = (r_1 r_2) . (v^1, ..., v^d) = (r_1 r_2 v^1, ..., r_1 r_2 v^d) = r_1 (r_2 v^1, ..., r_2 v^d) = r_1 . (r_2 . v)\)。
10) \(\forall v \in \mathbb{C}^d (1 . v = v)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(v = (v^1, ..., v^d)\)、そして、\(1 . v = 1 (v^1, ..., v^d) = (1 v^1, ..., 1 v^d) = (v^1, ..., v^d) = v\)。
