モジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）のスーパーモジュール（超加群）からモジュール（加群）の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M'_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{M'_2 \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
\(M_3\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(f_1\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(f_2\): \(: M'_2 \to M_3\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(f_2 \circ f_1\): \(: M_1 \to M_3\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_2 \circ f_1 \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(f_1\)のコドメイン（余域）は\(f_2\)のドメイン（定義域）のサブモジュール（部分加群）（単なるサブセット（部分集合）ではなく）である、それがポイントである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m, m' \in M_1\)および各\(r, r' \in R\)に対して、\(f_2 \circ f_1 (r m + r' m') = r f_2 \circ f_1 (m) + r' f_2 \circ f_1 (m')\)であることを見る。
ステップ1:
\(m, m' \in M_1\)および\(r, r' \in R\)を任意のものとしよう。
\(f_2 \circ f_1 (r m + r' m') = f_2 (f_1 (r m + r' m')) = f_2 (r f_1 (m) + r' f_1 (m'))\)。
注意として、\(r f_1 (m) + r' f_1 (m')\)は、\(M_2\)のモジュール（加群）ストラクチャー（構造）に関してである。
\(M_2\)は\(M'_2\)のサブモジュール（部分加群）であるから、\(r f_1 (m) + r' f_1 (m')\)は、\(M'_2\)のモジュール（加群）ストラクチャー（構造）に対しても真である。
したがって、\(f_2 (r f_1 (m) + r' f_1 (m')) = r f_2 (f_1 (m)) + r' f_2 (f_1 (m')) = r f_2 \circ f_1 (m) + r' f_2 \circ f_1 (m')\)。
したがって、\(f_2 \circ f_1\)はリニア（線形）である。
