ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）間リニアマップ（線形写像）に対して、コンポーネントベクトルたちスペース（空間）間の対応するマップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）間任意のリニアマップ（線形写像）および任意のベーシス（基底）たちに対して、コンポーネントベクトルたちスペース（空間）間の対応するマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(d_1\): \(\in \mathbb{N}\)
\(d_2\): \(\in \mathbb{N}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(B_1\): \(= \{b_{1, 1}, ..., b_{1, d_1}\}\), \(\in \{V_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B_2\): \(= \{b_{2, 1}, ..., b_{2, d_2}\}\), \(\in \{V_2 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(F^{d_1}\): \(= \text{ 当該 } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(F^{d_2}\): \(= \text{ 当該 } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(f_1\): \(: V_1 \to F^{d_1}, v^j b_{1, j} \mapsto (v^1, ..., v^{d_1})\)
\(f_2\): \(: V_2 \to F^{d_2}, v^j b_{2, j} \mapsto (v^1, ..., v^{d_2})\)
\(f'\): \(: F^{d_1} \to F^{d_2}\), \(= f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、明らかに思われるかもしれないが、それを一度証明しておこう。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_j\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: \(f'\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f_j\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって。
ステップ2:
したがって、\(f_j\)はバイジェクション（全単射）である。
したがって、\(f' := f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
ステップ3:
\(f'\)はリニア（線形）である、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題によって。
