コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）バイジェクション（全単射）に対して、インバース（逆）はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）バイジェクション（全単射）に対して、インバース（逆）はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{C}\): で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）バイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(f^{-1}\): \(: V_2 \to V_1\), \(= f \text{ のインバース（逆） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} \in \{\text{ 全てのコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^{-1} (r v + r' v') = \overline{r} f^{-1} (v) + \overline{r'} f^{-1} (v')\)であることを見る。
ステップ1:
\(v, v' \in V_2\)および\(r, r' \in \mathbb{C}\)を任意のものとしよう。
\(f^{-1} (r v + r' v') = \overline{r} f^{-1} (v) + \overline{r'} f^{-1} (v')\)であることを見よう。
\(f (\overline{r} f^{-1} (v) + \overline{r'} f^{-1} (v')) = \overline{\overline{r}} f (f^{-1} (v)) + \overline{\overline{r'}} f (f^{-1} (v'))\)、なぜなら、\(f\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）である、\(= r v + r' v'\)。
それが意味するのは、\(f^{-1} (r v + r' v') = \overline{r} f^{-1} (v) + \overline{r'} f^{-1} (v')\)。
