リニアマップ（線形写像）からコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）を構成するある方法の記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアマップ（線形写像）からあるコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）を構成するある方法、それは、当該ドメイン（定義域）に対するベーシス（基底）に依存する、が成立するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{C}\): で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{V_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）
\(f'\): \(: V_1 \to V_2, v = \sum_{j \in J_v} v^j b_j \mapsto \sum_{j \in J_v} \overline{v^j} f (b_j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(f \neq 0\) \(\implies\) \(f'\)は\(B\)に依存する
//
2: 注
\(f'\)を、各\(v \in V_1\)および各\(r \in \mathbb{C}\)に対して、\(f' (r v) = \overline{r} f (v)\)であるというように定義することはできない、なぜなら、それはウェルデファインド（妥当に定義された）ではない: \(f' (v) = f' (1 v) = \overline{1} f (v) = 1 f (v) = f (v)\)、しかし、\(f' (v) = f' (1 / i i v) = \overline{1 / i} f (i v) = \overline{- i} f (i v) = i f (i v) = i^2 f (v) = - f (v)\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: \(f'\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）であることを見る; ステップ3: \(f'\)は\(B\)に依存することを見る。
ステップ1:
\(f'\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(v \in V_1\)を任意のものとしよう。
あるベーシス（基底）が存在する、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題によって。
\(v\)は、\(\sum_{j \in J_v} v^j b_j\)と表現できる、ここで、\(J_v \subseteq J\)はファイナイト（有限）サブセット（部分集合）である、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって。
\(v = 0\)である時は、\(v = \sum_{j \in J_v} v^j b_j\)は、それら全てのコンポーネントたちが\(0\)であることを含意する、なぜなら、\(B\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
すると、\(\sum_{j \in J_v} \overline{v^j} f (b_j)\)は、\(0\)であるとユニークに決定される。
\(v \neq 0\)である時、\(v = \sum_{j \in J_v} v^j b_j\)は非ゼロコンポーネントたちを持つとしてユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
当該ユニーク分解に関して、\(\sum_{j \in J_v} \overline{v^j} f (b_j)\)はユニークに決定される。
\(v = \sum_{j \in J_v} v^j b_j\)が何らかのゼロコンポーネントたちを持つ時も、それらゼロ項目たちは\(\sum_{j \in J_v} \overline{v^j} f (b_j)\)に影響しない、したがって、\(\sum_{j \in J_v} \overline{v^j} f (b_j)\)はユニークに決定される、いずれにせよ。
したがって、\(f'\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
ステップ2:
\(f'\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であることを見よう。
\(v, v' \in V_1\)および\(r, r' \in \mathbb{C}\)を任意のものとしよう。
\(v = \sum_{j \in J_v} v^j b_j\)および\(v' = \sum_{j \in J_{v'}} v'^j b_j\)。
\(f' (r v + r' v') = f' (r \sum_{j \in J_v} v^j b_j + r' \sum_{j \in J_{v'}} v'^j b_j) = f' (r (\sum_{j \in J_v \setminus J_{v'}} v^j b_j + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} v^j b_j) + r' (\sum_{j \in J_{v'} \setminus J_v} v'^j b_j + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} v'^j b_j)) = f' (\sum_{j \in J_v \setminus J_{v'}} r v^j b_j + \sum_{j \in J_{v'} \setminus J_v} r' v'^j b_j + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} (r v^j + r' v'^j) b_j) = \sum_{j \in J_v \setminus J_{v'}} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_{v'} \setminus J_v} \overline{r' v'^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} \overline{r v^j + r' v'^j} f (b_j) = \sum_{j \in J_v \setminus J_{v'}} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_{v'} \setminus J_v} \overline{r' v'^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} (\overline{r v^j} + \overline{r' v'^j}) f (b_j) = \sum_{j \in J_v \setminus J_{v'}} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_{v'} \setminus J_v} \overline{r' v'^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} \overline{r' v'^j} f (b_j) = \sum_{j \in J_v \setminus J_{v'}} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_{v'} \setminus J_v} \overline{r' v'^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_v \cap J_{v'}} \overline{r' v'^j} f (b_j) = \sum_{j \in J_v} \overline{r v^j} f (b_j) + \sum_{j \in J_{v'}} \overline{r' v'^j} f (b_j) = \overline{r} \sum_{j \in J_v} \overline{v^j} f (b_j) + \overline{r'} \sum_{j \in J_{v'}} \overline{v'^j} f (b_j) = \overline{r} f' (v) + \overline{r'} f' (v')\)。
したがって、\(f'\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）である。
ステップ3:
\(f \neq 0\)である時は、\(f'\)は\(B\)に依存する。
\(f \neq 0\)であるから、以下を満たすある\(b_l \in B\)、つまり、\(f (b_l) \neq 0\)、がある。
\(B' := (B \setminus \{b_l\}) \cup \{i b_l\}\)としよう。
\(B'\)は\(V_1\)に対するベーシス（基底）である、なぜなら、\(B'\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であり続け、\(V_1\)をスパン（張る）し続ける。
\(B'\)に関してコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）\(f'': V_1 \to V_2\)を定義しよう。
\(f' (b_l) = f (b_l)\)。
\(f'' (b_l) = f'' (1 / i i b_l) = \overline{1 / i} f (i b_l) = \overline{- i} f (i b_l) = i f (i b_l) = i^2 f (b_l)\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(= - f (b_l) \neq f (b_l) = f' (b_l)\)、なぜなら、\(f (b_l) \neq 0\)。
したがって、\(f' \neq f''\)。
もしも、\(f = 0\)である場合、\(f' = f'' = 0\)。
