ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）およびリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(d\): \(\in \mathbb{N}\)
\(d'\): \(\in \mathbb{N}\)で、\(d \lt d'\)を満たすもの
\(M_c\): \(= \{(r^1, ..., r^d)^t \vert r^j \in R\}\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_r\): \(= \{(r^1, ..., r^d) \vert r^j \in R\}\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(S_c\): \(= \{({r_1}^1, ..., {r_1}^d)^t, ..., ({r_n}^1, ..., {r_n}^d)^t\}\), \(\in \{M_c \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(S_r\): \(= \{({r_1}^1, ..., {r_1}^d), ..., ({r_n}^1, ..., {r_n}^d)\}\), \(\in \{M_r \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(M'_c\): \(= \{(r^1, ..., r^{d'})^t \vert r^j \in R\}\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M'_r\): \(= \{(r^1, ..., r^{d'}) \vert r^j \in R\}\), \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(S'_c\): \(= \{({r_1}^1, ..., {r_1}^d, {r_1}^{d + 1}, ..., {r_1}^{d'})^t, ..., ({r_n}^1, ..., {r_n}^d, {r_n}^{d + 1}, ..., {r_n}^{d'})^t\}\)、ここで、追加されたコンポーネントたちは恣意的である
\(S'_r\): \(= \{({r_1}^1, ..., {r_1}^d, {r_1}^{d + 1}, ..., {r_1}^{d'}), ..., ({r_n}^1, ..., {r_n}^d, {r_n}^{d + 1}, ..., {r_n}^{d'})\}\)、ここで、追加されたコンポーネントたちは恣意的である
//
ステートメント（言明）たち:
\(S'_c \in \{M'_c \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(S'_r \in \{M'_r \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^d, {r_1}^{d + 1}, ..., {r_1}^{d'})^t + ... + ({r_n}^1, ..., {r_n}^d, {r_n}^{d + 1}, ..., {r_n}^{d'})^t = 0\)を取り、全ての\(c_j\)たちは\(0\)であることを見る; ステップ2: \(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^d, {r_1}^{d + 1}, ..., {r_1}^{d'}) + ... + ({r_n}^1, ..., {r_n}^d, {r_n}^{d + 1}, ..., {r_n}^{d'}) = 0\)を取り、全ての\(c_j\)たちは\(0\)であることを見る。
ステップ1:
\(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^d, {r_1}^{d + 1}, ..., {r_1}^{d'})^t + ... + ({r_n}^1, ..., {r_n}^d, {r_n}^{d + 1}, ..., {r_n}^{d'})^t = 0\)を取ろう。
それが意味するのは、\(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^d)^t + ... + ({r_n}^1, ..., {r_n}^d)^t = 0\)、なぜなら、全ての\(d'\)個コンポーネントたちは\(0\)であるから、特に、全ての\(d\)個コンポーネントたちは\(0\)である。
\(S_c\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、全ての\(c_j\)たちは\(0\)である。
したがって、\(S'_c\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
ステップ2:
\(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^d, {r_1}^{d + 1}, ..., {r_1}^{d'}) + ... + ({r_n}^1, ..., {r_n}^d, {r_n}^{d + 1}, ..., {r_n}^{d'}) = 0\)を取ろう。
それが意味するのは、\(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^d) + ... + ({r_n}^1, ..., {r_n}^d) = 0\)、なぜなら、全ての\(d'\)個コンポーネントたちは\(0\)であるから、特に、全ての\(d\)個コンポーネントたちは\(0\)である。
\(S_r\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、全ての\(c_j\)たちは\(0\)である。
したがって、\(S'_r\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
