ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）およびリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、コンポーネントたちを選ぶことによって、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のインジェクティブ（単射）リニアマップ（線形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）のリニアにインディペンデント（線形独立）な任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールを認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）および任意のリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はある要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、何らかのコンポーネントたちを選ぶことによって、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(d'\): \(\in \mathbb{N}\)
\(V'_c\): \(= \{(r^1, ..., r^{d'})^t \vert r^j \in F\}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V'_r\): \(= \{(r^1, ..., r^{d'}) \vert r^j \in F\}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S'_c\): \(= \{({r_1}^1, ..., {r_1}^{d'})^t, ..., ({r_n}^1, ..., {r_n}^{d'})^t\}\), \(\in \{V'_c \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(S'_r\): \(= \{({r_1}^1, ..., {r_1}^{d'}), ..., ({r_n}^1, ..., {r_n}^{d'})\}\), \(\in \{V'_r \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(V_c\): \(= \{(r^1, ..., r^n)^t \vert r^j \in F\}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_r\): \(= \{(r^1, ..., r^n) \vert r^j \in F\}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{j_1, ..., j_n\} \subseteq \{1, ..., d'\} (S_c := \{({r_1}^{j_1}, ..., {r_1}^{j_n})^t, ..., ({r_n}^{j_1}, ..., {r_n}^{j_n})^t\} \in \{V_c \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\})\)
\(\land\)
\(\exists \{j_1, ..., j_n\} \subseteq \{1, ..., d'\} (S_r := \{({r_1}^{j_1}, ..., {r_1}^{j_n}), ..., ({r_n}^{j_1}, ..., {r_n}^{j_n})\} \in \{V_r \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\})\)
//
2: 注
任意の\(\{j_1, ..., j_n\} \subseteq \{1, ..., d'\}\)でうまくいくということではない: 例えば、\(F = \mathbb{R}\)、\(d' = 3\)、\(S'_c = \{(0, 1, 0)^t, (0, 0, 1)^t\}\)である時, \(\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}\)ではうまくいかない、なぜなら、\(\{(0, 1)^t, (0, 0)^t\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）でない、その一方で、\(\{2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}\)ではうまくいく。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^{d'})^t + ... + c_n ({r_n}^1, ..., {r_n}^{d'})^t = 0\)を取り、それは、\(\begin{pmatrix} {r_1}^1 & ... & {r_n}^1 \\ ... \\ {r_1}^{d'} & ... & {r_n}^{d'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} = 0\)に等しいことを見る; ステップ2: 連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールを適用して、当該マトリックス（行列）のランク（階数）は\(n\)であると結論する; ステップ3: あるリニアにインディペンデント（線形独立）な\(S_c\)を選ぶ; ステップ4: \(S_r\)に対して結論する。
ステップ1:
\(c_1 ({r_1}^1, ..., {r_1}^{d'})^t + ... + c_n ({r_n}^1, ..., {r_n}^{d'})^t = 0\)を取ろう。
それは、\(\begin{pmatrix} {r_1}^1 & ... & {r_n}^1 \\ ... \\ {r_1}^{d'} & ... & {r_n}^{d'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} = 0\)に等しい、明らかに。
\(S_c\)がリニアにインディペンデント（線形独立）であることは、その等式が\(\begin{pmatrix} c_1 \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} = 0\)解だけを持つことに等しい。
ステップ2:
連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールによって、当該マトリックス（行列）のランク（階数）は\(n\)である: もしも、当該ランク（階数）が\(n\)より小さかったら、\(c_j\)たちの内の少なくとも1個は恣意的に取れる、矛盾。
ステップ3:
したがって、当該マトリックス（行列）は、再配置して、左上\(n \times n\)サブマトリックス（部分行列）はデターミナント（行列式）非ゼロであるようにできる。
すると、当該サブマトリックス（部分行列）の\(n\)列たちはリニアにインディペンデント（線形独立）である、任意のフィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、当該列たちまたは当該行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
当該\(n\)列たちは、ある\(S_c\)である。
ステップ4:
\(S_r\)に関しては、単に、\(S'_r\)のトランスポーズ（転置）\(S'_c \subseteq V'_c\)を取り、ある\(S_c\)を取り、\(S_c\)の転置\(S_r \subseteq V_r\)を取ればよいだけである。
