マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \{S'_1, ..., S'_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( \{S_2, ..., S_{n + 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で、\(\forall j \in \{2, ..., n\} (S_j \subseteq S'_j)\)を満たすものたち
\( \{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: S'_j \to S_{j + 1}\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(*f_n \circ ... \circ f_1\): \(S'_1 \to S_{n + 1}, s \mapsto f_n (f_{n - 1} (... (f_1 (s))))\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
1つのポイントは、各\(j \in \{2, ..., n\}\)に対して、\(S_j \subseteq S'_j\)が要求されること。
それはなぜかと言うと、もしも、\(S_j \subseteq S'_j\)が成立しなかったら、\(f_j (f_{j - 1} (... (f_1 (s))))\)は一般に定義されていないだろう、なぜなら、\(f_{j - 1} (... (f_1 (s))) \in S'_j\)は一般に保証されないだろう。
あなたは言うかもしれない、もしも、\(Ran (f_{j - 1}) \subseteq S'_j\)であればオーケーだろうと、しかし、その場合、別の\(S_j\)を\(Ran (f_{j - 1}) \subseteq S_j \subseteq S'_j\)であるように定義できるはずだ。したがって、本定義によって何の制約もない。
別のポイントは、\(S_j = S'_j\)は要求されていないということ、したがって、いくつかの落とし穴たちに落ちないように気を付ける必要がある: 例えば、サージェクション（全射）たちのあるファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないという命題。
別のポイントは、\(S_j \subseteq S'_j\)は、単にセット（集合）たちとしてである: 例えば、\(S'_j\)がベクトルたちスペース（空間）である時、\(S_j\)は\(S'_j\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）でないかもしれない: 任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題を参照のこと。
ある重要なプロパティとして、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアソシアティブ（結合的）である: \(f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1\)、それは、任意のアソシエーション（結合）を保証する、任意のストラクチャー（構造）に対して、任意の3個のアイテム（項）たちに対するアソシアティビティ（結合性）は任意のアソシエーション（結合）を許すという命題によって。
それはなぜなら、\((f_3 \circ (f_2 \circ f_1)) (s) = f_3 ((f_2 \circ f_1) (s)) = f_3 (f_2 (f_1 (s)))\)、その一方、\(((f_3 \circ f_2) \circ f_1) (s) = (f_3 \circ f_2) (f_1 (s)) = f_3 (f_2 (f_1 (s)))\)。
