セット（集合）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、オープンサブセット（開部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）はトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、全てのオープンサブセット（開部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）はトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: S \to T\)
\(O'\): \(\in \{T \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
\(O\): \(= \{f^{-1} (U) \vert U \in O'\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O \in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(O\)はトポロジーであるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(O\)はトポロジーであるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
1) \(\emptyset \in O\)および\(S \in O\): \(\emptyset \in O'\)および\(\emptyset = f^{-1} (\emptyset) \in O\); \(T \in O'\)および\(S = f^{-1} (T) \in O\)。
2) 任意の\(U_1 \in O\)および任意の\(U_2 \in O\)に対して、\(U_1 \cap U_2 \in O\): \(U_1 = f^{-1} (U'_1)\)および\(U_2 = f^{-1} (U'_2)\)、何らかの\(U'_1, U'_2 \in O'\)に対して、\(U_1 \cap U_2 = f^{-1} (U'_1) \cap f^{-1} (U'_2) = f^{-1} (U'_1 \cap U'_2)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、しかし、\(U'_1 \cap U'_2 \in O'\)であるから、\(U_1 \cap U_2 \in O\)。
3) 任意の\(U_j \in O\)、ここで、\(j \in J\)、ここで、\(J\)は必ずしもカウンタブル（可算）でない任意のインデックスセット（集合）、に対して、\((\cup_{j \in J} U_j) \in O\): \(U_j = f^{-1} (U'_j)\)、ある\(U'_j \in O'\)に対して、\(\cup_{j \in J} U_j = \cup_{j \in J} f^{-1} (U'_j) = f^{-1} (\cup_{j \in J} (U'_j))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、\(\cup_{j \in J} (U'_j) \in O'\)、したがって、\(\cup_{j \in J} U_j \in O\)。
