ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、the proposition that any vectors space has a basis???を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題を認めている。
- 読者は、カーディナル演算の吸収則を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、全てのベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall B_1, B_2 \in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} (\vert B_1 \vert = \vert B_2 \vert)\)
//
\(V\)は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)はあるベーシス（基底）を持つことを見る; ステップ2: \(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であると仮定する; ステップ3: \(\vert B_1 \vert = \vert B_2 \vert\)であることを見る; ステップ4: \(V\)はインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）であると仮定する; ステップ5: \(B_1 = \{b_{1, j} \vert J_1\}\)および\(B_2 = \{b_{2, j} \vert J_2\}\)とし、各\(b_{1, j} \in B_1\)に対して、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(J_{2, j} \subseteq J_2\)、つまり、\(b_{1, j} = \sum_{l \in J_{2, j}} {b_{1, j}}^l b_{2, l}\)、を取り、\(\cup_{j \in J_1} J_{2, j} = J_2\)であることを見る; ステップ6: \(\vert J_2 \vert \le \vert J_1 \vert\)であることを見る; ステップ7: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V\)はあるベーシス（基底）を持つ、the proposition that any vectors space has a basis???によって。
ステップ2:
\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）で任意のディメンション（次元）\(d\)を持つと仮定しよう。
ステップ3:
何らかの\(d\)要素たちを持つあるベーシス（基底）がある、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義によって。
\(\vert B_j \vert = d\)、なぜなら、\(\vert B_j \vert\)は\(d\)より大きくはありえない、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題によって、しかし、\(d\)より小さくはありえない、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義によって。
したがって、\(\vert B_1 \vert = \vert B_2 \vert = d\)。
ステップ4:
\(V\)はインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）であると仮定しよう。
ステップ5:
\(B_1 = \{b_{1, j} \vert J_1\}\)および\(B_2 = \{b_{2, j} \vert J_2\}\)としよう。
各\(b_{1, j} \in B_1\)に対して、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(J_{2, j} \subseteq J_2\)、つまり、\(b_{1, j} = \sum_{l \in J_{2, j}} {b_{1, j}}^l b_{2, l}\)、がある、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって。
\(\cup_{j \in J_1} J_{2, j} \subseteq J_2\)、明らかに。
\(\cup_{j \in J_1} J_{2, j}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、\(J_2\)のサブセット（部分集合）として。
\(\cup_{j \in J_1} J_{2, j}\)は\(V\)をスパン（張る）する、なぜなら、各\(v \in V\)に対して、\(v = \sum_{j \in J_{1, v}} v^j b_{1, j}\)、あるファイナイト（有限）\(J_{1, v} \subseteq J_1\)に対して、そして、\(v = \sum_{j \in J_{1, v}} v^j \sum_{l_j \in J_{2, j}} {b_{1, j}}^{l_j} b_{2, l_j}\)、それは、\(B_2\)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）である。
もしも、\(J_2 \setminus \cup_{j \in J_1} J_{2, j} \neq \emptyset\)であった場合、\(l \in J_2 \setminus \cup_{j \in J_1} J_{2, j}\)と仮定して、\(b_{2, l}\)は\(\cup_{j \in J_1} J_{2, j}\)のファイナイト（有限）コンビネーション（結合）だということになる、\(J_2\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であることに反する矛盾。
したがって、\(\cup_{j \in J_1} J_{2, j} = J_2\)。
ステップ6:
カーディナリティ演算によって、\(\vert J_2 \vert = \vert \cup_{j \in J_1} J_{2, j} \vert \le \sum _{j \in J_1} \vert J_{2, j} \vert \le \sum _{j \in J_1} \vert \mathbb{N} \vert\)、なぜなら、\(\vert J_{2, j} \vert \lt \vert \mathbb{N} \vert\)、\(= \vert J_1 \vert \vert \mathbb{N} \vert = \vert J_1 \vert\)、カーディナル演算の吸収則によって。
ステップ7:
対称性によって、\(\vert J_1 \vert \le \vert J_2 \vert\)でもある。
したがって、\(\vert J_1 \vert = \vert J_2 \vert\)。
したがって、\(\vert B_1 \vert = \vert B_2 \vert\)。
