モジュール（加群）に対して、非空サブセット（部分集合）はサブモジュール（部分加群）である、もしも、サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、当該モジュール（加群）の任意の非空サブセット（部分集合）はサブモジュール（部分加群）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じている場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq M\), \(\neq \emptyset\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{M \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r_1, r_2 \in R (r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S\)であると仮定する; ステップ2: \(S\)は\(M\)のサブモジュール（部分加群）であることを見る; ステップ3: \(S\)は\(M\)のサブモジュール（部分加群）であると仮定する; ステップ4: \(r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S\)であることを見る。
ステップ1:
\(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r_1, r_2 \in R (r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S)\)であると仮定しよう。
\(S\)はモジュール（加群）であるためのコンディションたちを満たしていることを見よう。
1) \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 + s_2 \in S)\)(アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \(s_1 + s_2 = 1 s_1 + 1 s_2 \in S\)。
2) \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 + s_2 = s_2 + s_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
3) \(\forall s_1, s_2, s_3 \in S ((s_1 + s_2) + s_3 = s_1 + (s_2 + s_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
4) \(\exists 0 \in S (\forall s \in S (s + 0 = s))\)（0要素の存在）: ある\(s \in S\)がある、なぜなら、\(S \neq \emptyset\)、そして、\(0 = 0 s + 0 s \in S\)、そして、\(s + 0 = s\)、なぜなら、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
5) \(\forall s \in S (\exists s' \in S (s' + s = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）: \(-1 s + 0 s = -1 s \in S\)、そして、\(-1 s + s = 0\)、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
6) \(\forall s \in S, \forall r \in R (r . s \in S)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(r . s = r . s + 0 . s \in S\)。
7) \(\forall s \in S, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . s = r_1 . s + r_2 . s)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
8) \(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r \in R (r . (s_1 + s_2) = r . s_1 + r . s_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
9) \(\forall s \in S, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . s = r_1 . (r_2 . s))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
10) \(\forall s \in S (1 . s = s)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(M\)上で成立する。
ステップ3:
\(S\)は\(M\)のサブモジュール（部分加群）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r_1, r_2 \in R (r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S)\)は成立する、なぜなら、モジュール（加群）であるためのコンディションたちがそれを要求する。
