ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、ノルムがインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）はこのようにユニークであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムが任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、当該ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）はこのようにユニークであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\Vert \bullet \Vert \in \{\text{ 任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）全てのノルムたち }\}\)
\(\implies\)
\(\Vert \bullet \Vert\)は、\(\langle v_1, v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2\)によってインデュースト（誘導された）である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\Vert \bullet \Vert\)は任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）であると仮定する; ステップ2: \(\langle v_1, v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2\)であることを見る。
ステップ1:
\(\Vert \bullet \Vert\)は任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）であると仮定しよう。
ステップ2:
各\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(\langle v_1, v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2\)であることを見よう。
\(1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2 = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \langle v_1 + i^j v_2, v_1 + i^j v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j (\langle v_1, v_1 + i^j v_2 \rangle + i^j \langle v_2, v_1 + i^j v_2 \rangle) = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j (\langle v_1, v_1 \rangle + \overline{i^j} \langle v_1, v_2 \rangle + i^j \langle v_2, v_1 \rangle + i^j \overline{i^j} \langle v_2, v_2 \rangle)\)。
\(= 1 / 4 (1 (\langle v_1, v_1 \rangle + \overline{1} \langle v_1, v_2 \rangle + 1 \langle v_2, v_1 \rangle + 1 \overline{1} \langle v_2, v_2 \rangle) + i (\langle v_1, v_1 \rangle + \overline{i} \langle v_1, v_2 \rangle + i \langle v_2, v_1 \rangle + i \overline{i} \langle v_2, v_2 \rangle) + (-1) (\langle v_1, v_1 \rangle + \overline{-1} \langle v_1, v_2 \rangle + (-1) \langle v_2, v_1 \rangle + (-1) \overline{-1} \langle v_2, v_2 \rangle) + (- i) (\langle v_1, v_1 \rangle + \overline{- i} \langle v_1, v_2 \rangle + (- i) \langle v_2, v_1 \rangle + (- i) \overline{- i} \langle v_2, v_2 \rangle)) = 1 / 4 ((\langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + 1 \langle v_2, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle) + i (\langle v_1, v_1 \rangle + (- i) \langle v_1, v_2 \rangle + i \langle v_2, v_1 \rangle + i (- i) \langle v_2, v_2 \rangle) + (-1) (\langle v_1, v_1 \rangle + (-1) \langle v_1, v_2 \rangle + (-1) \langle v_2, v_1 \rangle + (-1) (-1) \langle v_2, v_2 \rangle) + (- i) (\langle v_1, v_1 \rangle + i \langle v_1, v_2 \rangle + (- i) \langle v_2, v_1 \rangle + (- i) i \langle v_2, v_2 \rangle)) = 1 / 4 ((\langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_2, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle) + i (\langle v_1, v_1 \rangle - i \langle v_1, v_2 \rangle + i \langle v_2, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle) + (-1) (\langle v_1, v_1 \rangle - \langle v_1, v_2 \rangle -1 \langle v_2, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle) - i (\langle v_1, v_1 \rangle + i \langle v_1, v_2 \rangle - i \langle v_2, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle)) = 1 / 4 (\langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle) = \langle v_1, v_2 \rangle\)。
したがって、\(\langle v_1, v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2\)。
したがって、当該インナープロダクト（内積）はユニークに決定される、なぜなら、当該ノルムは決定されている。
