ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のノルムを持つもの、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムが任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、当該ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）はこのようにユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、当該ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v_1, v_2 \in V (\Vert v_1 + v_2 \Vert + \Vert v_1 - v_2 \Vert = 2 \Vert v_1 \Vert + 2 \Vert v_2 \Vert )\)
\(\implies\)
\(\Vert \bullet \Vert\)は、\(\langle v_1, v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2\)によってインデュースト（誘導された）である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: パラレログラム（平行四辺形）法則が成立すると仮定する; ステップ2: \(\langle \bullet, \bullet \rangle\)はインナープロダクト（内積）であることを見る; ステップ3: \(\Vert \bullet \Vert\)は\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）であることを見る; ステップ4: \(\langle \bullet, \bullet \rangle\)は、それによって\(\Vert \bullet \Vert\)がインデュースト（誘導された）ユニークなインナープロダクト（内積）であることを見る。
ステップ1:
パラレログラム（平行四辺形）法則が成立すると仮定しよう。
ステップ2:
\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)はインナープロダクト（内積）であることを見よう。
ステップ2戦略: ステップ2-1: \(0 \le \langle v_1, v_1 \rangle\)および\((0 = \langle v_1, v_1 \rangle \iff v_1 = 0)\)であることを見る; ステップ2-2: \(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)であることを見る; ステップ2-3: \(\langle v_1 + v_2, v_3 \rangle = \langle v_1, v_3 \rangle + \langle v_2, v_3 \rangle\)であることを見る; ステップ2-4: 各\(r_1 \in \mathbb{Z}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見る; ステップ2-5: 各\(r_1 \in \mathbb{Q}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見る; ステップ2-6: 各\(r_1 \in \mathbb{R}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見る; ステップ2-7: 各\(r_1 \in \mathbb{C}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見る; ステップ2-8: 各\(r_1, r_1 \in F\)に対して、\(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見る。
\(v_1, v_2, v_3 \in V\)および\(r_2, r_2 \in F\)を任意のものとしよう、これ以降。
ステップ2-1:
\(0 \le \langle v_1, v_1 \rangle\)および\((0 = \langle v_1, v_1 \rangle \iff v_1 = 0)\)であることを見よう。
\(\langle v_1, v_1 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_1 \Vert^2 = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert (1 + i^j) v_1 \Vert^2 = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \vert 1 + i^j \vert^2 \Vert v_1 \Vert^2 = 1 / 4 \Vert v_1 \Vert^2 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \vert 1 + i^j \vert^2 = 1 / 4 \Vert v_1 \Vert^2 (i^0 \vert 1 + i^0 \vert^2 + i^1 \vert 1 + i^1 \vert^2 + i^2 \vert 1 + i^2 \vert^2 + i^3 \vert 1 + i^3 \vert^2) = 1 / 4 \Vert v_1 \Vert^2 (\vert 1 + 1 \vert^2 + i \vert 1 + i \vert^2 -1 \vert 1 - 1 \vert^2 - i \vert 1 - i \vert^2) = 1 / 4 \Vert v_1 \Vert^2 (\vert 2 \vert^2) = \Vert v_1 \Vert^2\)、それは非ネガティブ（負）である。
もしも、\(0 = \langle v_1, v_1 \rangle\)である場合、\(0 = \langle v_1, v_1 \rangle = \Vert v_1 \Vert^2\)、前パラグラフによって、それが含意するのは、\(v_1 = 0\)。
もしも、\(v_1 = 0\)である場合、\(\langle v_1, v_1 \rangle = \Vert v_1 \Vert^2 = 0\)。
ステップ2-2:
\(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)であることを見よう。
注意として、任意の\(v \in V\)に対して、\(\Vert v \Vert = \vert i \vert \Vert v \Vert = \Vert i v \Vert\)および\(\Vert v \Vert = \vert -1 \vert \Vert v \Vert = \Vert - v \Vert\)。
\(\langle v_1, v_2 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + i^j v_2 \Vert^2 = 1 / 4 (i^0 \Vert v_1 + i^0 v_2 \Vert^2 + i^1 \Vert v_1 + i^1 v_2 \Vert^2 + i^2 \Vert v_1 + i^2 v_2 \Vert^2 + i^3 \Vert v_1 + i^3 v_2 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_1 + v_2 \Vert^2 + i \Vert v_1 + i v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 \Vert^2 - i \Vert v_1 - i v_2 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_1 + v_2 \Vert^2 + i \Vert i (v_1 + i v_2) \Vert^2 - \Vert - (v_1 - v_2) \Vert^2 - i \Vert i (v_1 - i v_2) \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_2 + v_1 \Vert^2 + i \Vert - v_2 + i v_1 \Vert^2 - \Vert v_2 - v_1 \Vert^2 - i \Vert v_2 + i v_1 \Vert^2) = \overline{1 / 4 (\Vert v_2 + v_1 \Vert^2 - i \Vert v_2 - i v_1 \Vert^2 - \Vert v_2 - v_1 \Vert^2 + i \Vert v_2 + i v_1 \Vert^2)} = \overline{1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_2 + i^j v_1 \Vert^2} = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)。
ステップ2-3:
\(\langle v_1 + v_2, v_3 \rangle = \langle v_1, v_3 \rangle + \langle v_2, v_3 \rangle\)であることを見よう。
\(\langle v_1 + v_2, v_3 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v_1 + v_2 + i^j v_3 \Vert^2 = 1 / 4 (i^0 \Vert v_1 + v_2 + i^0 v_3 \Vert^2 + i^1 \Vert v_1 + v_2 + i^1 v_3 \Vert^2 + i^2 \Vert v_1 + v_2 + i^2 v_3 \Vert^2 + i^3 \Vert v_1 + v_2 + i^3 v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_1 + v_2 + v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + v_2 + i v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 + v_2 - v_3 \Vert^2 - i \Vert v_1 + v_2 - i v_3 \Vert^2)\)であるから、当該括弧内の各項を整形しよう（ここで、私たちはパラレログラム（平行四辺形）法則を使う）。
\(\Vert v_1 + v_2 + v_3 \Vert^2 = \Vert (v_1 + v_3) + v_2 \Vert^2 = 2 \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 + v_3) - v_2 \Vert^2\); \(\Vert v_1 + v_2 + v_3 \Vert^2 = 2 \Vert v_2 + v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 + v_3) - v_1 \Vert^2\)、同様に; したがって、\(\Vert v_1 + v_2 + v_3 \Vert^2 = 1 / 2 (\Vert v_1 + v_2 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 + v_2 + v_3 \Vert^2) = 1 / 2 (2 \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 + v_3) - v_2 \Vert^2 + 2 \Vert v_2 + v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 + v_3) - v_1 \Vert^2) = \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 + v_3) - v_2 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 + v_3) - v_1 \Vert^2 / 2 = \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - v_3 \Vert^2 / 2\)。
\(- \Vert v_1 + v_2 - v_3 \Vert^2 = - (\Vert v_1 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 - v_3) - v_2 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 - v_3) - v_1 \Vert^2 / 2) = - (\Vert v_1 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + v_3 \Vert^2 / 2)\)、それは、前パラグラフ内の\(v_3\)を\(- v_3\)で置換し全体のネガティブ（負）を取ることによる。
\(i \Vert v_1 + v_2 + i v_3 \Vert^2 = i \Vert (v_1 + i v_3) + v_2 \Vert^2 = i (2 \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 + i v_3) - v_2 \Vert^2)\); \(i \Vert v_1 + v_2 + i v_3 \Vert^2 = i (2 \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 + i v_3) - v_1 \Vert^2)\)\)、同様に; \(i \Vert v_1 + v_2 + i v_3 \Vert^2 = 1 / 2 (i \Vert v_1 + v_2 + i v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + v_2 + i v_3 \Vert^2) = 1 / 2 (i (2 \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 + i v_3) - v_2 \Vert^2) + i (2 \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2 + 2 \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 + i v_3) - v_1 \Vert^2)) = i (\Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 + i v_3) - v_2 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 + i v_3) - v_1 \Vert^2 / 2) = i (\Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + i v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - i v_3 \Vert^2 / 2)\)。
\(- i \Vert v_1 + v_2 - i v_3 \Vert^2 = - i (\Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert (v_1 - i v_3) - v_2 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert (v_2 - i v_3) - v_1 \Vert^2 / 2) = - i (\Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - i v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + i v_3 \Vert^2 / 2)\)、それは、前パラグラフ内の\(v_3\)を\(- v_3\)で置換し全体のネガティブ（負）を取ることによる。
したがって、\(\langle v_1 + v_2, v_3 \rangle = 1 / 4 (\Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - v_3 \Vert^2 / 2 - (\Vert v_1 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + v_3 \Vert^2 / 2) + i (\Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + i v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - i v_3 \Vert^2 / 2) - i (\Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 - i v_3 \Vert^2 / 2 + \Vert v_2 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_2 + i v_3 \Vert^2)) = 1 / 4 (\Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 + v_3 \Vert^2 - (\Vert v_1 - v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 - v_3 \Vert^2 ) + i (\Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2) - i (\Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_2 - i v_3 \Vert^2)) = 1 / 4 (\Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_3 \Vert^2 - i \Vert v_1 - i v_3 \Vert^2) + 1 / 4 (\Vert v_2 + v_3 \Vert^2 + i \Vert v_2 + i v_3 \Vert^2 - \Vert v_2 - v_3 \Vert^2 - i \Vert v_2 - i v_3 \Vert^2) = \langle v_1, v_3 \rangle + \langle v_2, v_3 \rangle\)。
ステップ2-4:
各\(r_1 \in \mathbb{Z}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見よう。
\(r_1 = 0\)である時、\(\langle 0 v_1, v_3 \rangle = \langle 0, v_3 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert 0 + i^j v_3 \Vert^2 = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert i^j v_3 \Vert^2 = 1 / 4 (i^0 \Vert i^0 v_3 \Vert^2 + i^1 \Vert i^1 v_3 \Vert^2 + i^2 \Vert i^2 v_3 \Vert^2 + i^3 \Vert i^3 v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_3 \Vert^2 + i \Vert i v_3 \Vert^2 - \Vert - v_3 \Vert^2 - i \Vert - i v_3 \Vert^2) = 0 = 0 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
\(r_1\)がポジティブ（正）である時、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = \langle v_1 + ... + v_1, v_3 \rangle = \langle v_1, v_3 \rangle + ... + \langle v_1, v_3 \rangle\)、ステップ2-3によって、\(= r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
\(r_1 = -1\)である時、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = \langle - v_1, v_3 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert - v_1 + i^j v_3 \Vert^2 = 1 / 4 (i^0 \Vert - v_1 + i^0 v_3 \Vert^2 + i^1 \Vert - v_1 + i^1 v_3 \Vert^2 + i^2 \Vert - v_1 + i^2 v_3 \Vert^2 + i^3 \Vert - v_1 + i^3 v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert - v_1 + v_3 \Vert^2 + i \Vert - v_1 + i v_3 \Vert^2 - \Vert - v_1 - v_3 \Vert^2 - i \Vert - v_1 - i v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_1 - v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 - i \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2) = - 1 / 4 (\Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_3 \Vert^2 - i \Vert v_1 - i v_3 \Vert^2) = - 1 \langle v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
\(r_1\)がネガティブ（負）である時、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = \langle (-1) (- r_1) v_1, v_3 \rangle = -1 \langle (- r_1) v_1, v_3 \rangle = -1 (- r_1) \langle v_1, v_3 \rangle\)、なぜなら、\(- r_1\)はポジティブ（正）インテジャー（整数）である、\(= r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
ステップ2-5:
各\(r_1 \in \mathbb{Q}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見よう。
\(r_1 = r'_1 / r''_1\)、ここで、\(r'_1, r''_1 \in \mathbb{Z}\)、ここで、\(r''_1 \neq 0\)。
\(\langle r'_1 v_1, v_3 \rangle = r'_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)、ステップ2-4によって。
しかし、\(\langle r'_1 v_1, v_3 \rangle = \langle r_1 r''_1 v_1, v_3 \rangle = r''_1 \langle r_1 v_1, v_3 \rangle\)、ステップ2-4によって。
したがって、\(r''_1 \langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r'_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)、したがって、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r'_1 / r''_1 \langle v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
ステップ2-6:
各\(r_1 \in \mathbb{R}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見よう。
マップ（写像）\(\langle r v_1, v_3 \rangle: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, r \mapsto \langle r v_1, v_3 \rangle\)は、\(f_1: \mathbb{R} \to V, r \mapsto r v_1\)を\(f_2: V \to \mathbb{C}, v \mapsto \langle v, v_3 \rangle\)の前に行なうコンポジション（合成）である。
\(V\)に当該ノルムによってインデュースト（誘導された）トポロジーを持たせよう。
\(f_1\)はコンティニュアス（連続）である: 各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(f_1 (r)\)の周りの任意のオープンボール（開球）\(B_{f_1 (v), \epsilon} \subseteq V\)を取る; \(\delta := \epsilon / \Vert v \Vert\)および\(r\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{r, \delta}\)を取る; 各\(r' \in B_{r, \delta}\)に対して、\(\Vert f_1 (r') - f_1 (r) \Vert = \Vert r' v - r v \Vert = \Vert (r' - r) v \Vert = \vert r' - r \vert \Vert v \Vert \lt \delta \Vert v \Vert = \epsilon\)、それが意味するのは、\(f_1 (B_{r, \delta}) \subseteq B_{f_1 (v), \epsilon}\)。
\(f_2\)はコンティニュアス（連続）である: \(\langle v, v_3 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v + i^j v_3 \Vert^2\)、しかし、トランスレーション（平行移動）\(v \mapsto v + i^j v_3\)は明らかにコンティニュアス（連続）である、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のノルムを持つもの、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、2乗マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、\(i^j\)を掛けることはコンティニュアス（連続）である、合計を取ることはコンティニュアス（連続）である。
したがって、マップ（写像）\(\langle r v_1, v_3 \rangle: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, r \mapsto \langle r v_1, v_3 \rangle\)はコンティニュアス（連続）である。
あるシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \mathbb{Q}\)で\(r_1\)へコンバージ（収束）するものを取ろう、それは可能である、なぜなら、各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(r_1\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{r_1, 1 / j}\)を取り、ある\(s (j) \in \mathbb{Q} \cap B_{r_1, 1 / j}\)を取る。
すると、\(\langle s (j) v_1, v_3 \rangle = s (j) \langle v_1, v_3 \rangle\)、そして、\(lim_{j \to \infty} \langle s (j) v_1, v_3 \rangle = lim_{j \to \infty} s (j) \langle v_1, v_3 \rangle\)、しかし、\(lim_{j \to \infty} \langle s (j) v_1, v_3 \rangle = \langle lim_{j \to \infty} s (j) v_1, v_3 \rangle\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題によって、\(= \langle r_1 v_1, v_3 \rangle\)、その一方で、\(lim_{j \to \infty} s (j) \langle v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
ステップ2-7:
\(F = \mathbb{R}\)である時、ステップ2は完了である。
\(F = \mathbb{C}\)である時、各\(r_1 \in \mathbb{C}\)に対して、\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見よう。
\(r_1 = i\)としよう。
\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = \langle i v_1, v_3 \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert i v_1 + i^j v_3 \Vert^2 = 1 / 4 (i^0 \Vert i v_1 + i^0 v_3 \Vert^2 + i^1 \Vert i v_1 + i^1 v_3 \Vert^2 + i^2 \Vert i v_1 + i^2 v_3 \Vert^2 + i^3 \Vert i v_1 + i^3 v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert i v_1 + v_3 \Vert^2 + i \Vert i v_1 + i v_3 \Vert^2 - \Vert i v_1 - v_3 \Vert^2 - i \Vert i v_1 - i v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert i (i v_1 + v_3) \Vert^2 + i \Vert i (i v_1 + i v_3) \Vert^2 - \Vert i (i v_1 - v_3) \Vert^2 - i \Vert i (i v_1 - i v_3) \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert -1 v_1 + i v_3 \Vert^2 + i \Vert - v_1 - v_3 \Vert^2 - \Vert - v_1 - i v_3 \Vert^2 - i \Vert - v_1 + v_3 \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 - i \Vert v_1 - v_3 \Vert^2) = i (-i) 1 / 4 (\Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 - i \Vert v_1 - v_3 \Vert^2) = i 1 / 4 (- i \Vert v_1 - i v_3 \Vert^2 + \Vert v_1 + v_3 \Vert^2 + i \Vert v_1 + i v_3 \Vert^2 - \Vert v_1 - v_3 \Vert^2) = i \langle v_1, v_3 \rangle\)。
\(r_1 = r'_1 + r''_1 i\)、ここで、\(r'_1, r''_1 \in \mathbb{R}\)。
\(\langle r_1 v_1, v_3 \rangle = \langle (r'_1 + r''_1 i) v_1, v_3 \rangle = \langle r'_1 v_1 + r''_1 i v_1, v_3 \rangle = \langle r'_1 v_1, v_3 \rangle + \langle r''_1 i v_1, v_3 \rangle\)、ステップ2-3によって、\(= r'_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r''_1 \langle i v_1, v_3 \rangle\)、ステップ2-6によって、\(= r'_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r''_1 i \langle v_1, v_3 \rangle = (r'_1 + r''_1 i) \langle v_1, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle\)。
ステップ2-8:
各\(r_1, r_1 \in F\)に対して、\(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_1, v_3 \rangle\)であることを見よう。
\(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = \langle r_1 v_1, v_3 \rangle + \langle r_2 v_2, v_3 \rangle\)、ステップ2-3によって、\(= r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\)、ステップ2-7によって。
したがって、\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)はインナープロダクト（内積）である。
ステップ3:
\(\Vert \bullet \Vert\)は\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）であることを見よう。
各\(v \in V\)に対して、\(\langle v, v \rangle = 1 / 4 \sum_{j \in \{0, 1, 2, 3\}} i^j \Vert v + i^j v \Vert^2 = 1 / 4 (i^0 \Vert v + i^0 v \Vert^2 + i^1 \Vert v + i^1 v \Vert^2 + i^2 \Vert v + i^2 v \Vert^2 + i^3 \Vert v + i^3 v \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert v + v \Vert^2 + i \Vert v + i v \Vert^2 - \Vert v - v \Vert^2 - i \Vert v - i v \Vert^2) = 1 / 4 (\Vert 2 v \Vert^2 + i \Vert (1 + i) v \Vert^2 - \Vert 0 \Vert^2 - i \Vert (1 - i) v \Vert^2) = 1 / 4 (4 \Vert v \Vert^2 + i \vert 1 + i \vert^2 \Vert v \Vert^2 - i \vert 1 - i \vert^2 \Vert v \Vert^2) = \Vert v \Vert^2\)。
ステップ4:
\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)は、それによって\(\Vert \bullet \Vert\)がインデュース（誘導された）であるユニークなインナープロダクト（内積）である、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムが任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、当該ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）はこのようにユニークであるという命題によって。
