ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）間のバウンデッド（有界）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持ち（したがって、\(F\)ベクトルたちスペース（空間））、カノニカル（正典）ノルム\(\vert \bullet \vert\)を持つもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert\)を持つもの
\(*V^*\): \(= \{v^* \in L (V: F) \vert v^* \in \{\text{ 全てのバウンデッド（有界）マップ（写像）たち }\} \}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、以下に指定されたノルムを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall v^* \in V^* (\Vert v^* \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^* (v) \vert / \Vert v \Vert )\)
//
\(V^*\)に対する本ノルムは、"オペレーターノルム"と呼ばれる。
2: 注
\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)に対するカノニカル（正典）ノルムとは、絶対値を取ることを意味する、それは、本当にノルムである: 各\(v_1, v_2 \in F\)および各\(r \in F\)に対して、1) \(0 \le \vert v_1 \vert\)および\(0 = \vert v_1 \vert\)は\(v_1 = 0\)に等しい; 2) \(\vert r v_1 \vert = \vert r \vert \vert v_1 \vert\); 3) \(\vert v_1 + v_2 \vert \le \vert v_1 \vert + \vert v_2 \vert\)。
\(\Vert v^* \Vert \in \mathbb{R}\)、なぜなら、\(v^*\)はバウンデッド（有界）である。
\(V^*\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
\(L (V: F)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内で言及されているとおり。
各\(v^*_1, v^*_2 \in V^*\)および各\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\(r_1 v^*_1 + r_2 v^*_2 \in V^*\)、なぜなら、\(r_1 v^*_1 + r_2 v^*_2 \in L (V: F)\)であるところ、\(r_1 v^*_1 + r_2 v^*_2\)はバウンデッド（有界）である、なぜなら、\(sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert (r_1 v^*_1 + r_2 v^*_2) (v) \vert / \Vert v \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r_1 v^*_1 (v) + r_2 v^*_2 (v) \vert / \Vert v \Vert \le sup_{v \in V \setminus \{0\}} (\vert r_1 v^*_1 (v) \vert + \vert r_2 v^*_2 (v)) \vert / \Vert v \Vert \le sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r_1 v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert + sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r_2 v^*_2 (v) \vert / \Vert v \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r_1 \vert \vert v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert + sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r_2 \vert \vert v^*_2 (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert r_1 \vert sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert + \vert r_2 \vert sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_2 (v) \vert / \Vert v \Vert \lt \infty\)。
したがって、\(V^*\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって: それは非空である、なぜなら、\(0\)マップ（写像）はその中に包含されている。
当該ノルムは本当にノルムであることを見よう。
\(v^*_1, v^*_2 \in V^*\)および\(r \in F\)を任意のものとしよう。
1) (\(0 \le \Vert v^*_1 \Vert\)) \(\land\) (\((0 = \Vert v^*_1 \Vert) \iff (v^*_1 = 0)\)): \(0 \le sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert = \Vert v^*_1 \Vert\); もしも、\(0 = \Vert v^*_1 \Vert\)である場合、\(sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert = 0\)、それが意味するのは、\(\vert v^*_1 (v) \vert = 0\)、各\(v \in V\)に対して、それが意味するのは、\(v^*_1 = 0\); もしも、\(v^*_1 = 0\)である場合、\(v^*_1 (v) = 0\)、各\(v \in V\)に対して、それが意味するのは、\(\Vert v^*_1 \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert = 0\)。
2) \(\Vert r v^*_1 \Vert = \vert r \vert \Vert v^*_1 \Vert\): \(\Vert r v^*_1 \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r v^* (v) \vert / \Vert v \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert r \vert \vert v^* (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert r \vert sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^* (v) \vert / \Vert v \Vert = \vert r \vert \Vert v^*_1 \Vert\)。
3) \(\Vert v^*_1 + v^*_2 \Vert \le \Vert v^*_1 \Vert + \Vert v^*_2 \Vert\): \(\Vert v^*_1 + v^*_2 \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert (v^*_1 + v^*_2) (v) \vert / \Vert v \Vert = sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_1 (v) + v^*_2 (v) \vert / \Vert v \Vert \le sup_{v \in V \setminus \{0\}} (\vert v^*_1 (v) \vert + \vert v^*_2 (v)) \vert / \Vert v \Vert \le sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_1 (v) \vert / \Vert v \Vert + sup_{v \in V \setminus \{0\}} \vert v^*_2 (v) \vert / \Vert v \Vert = \Vert v^*_1 \Vert + \Vert v^*_2 \Vert\)。
