メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）を持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）任意のセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq T\)
\(\{U_j \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \vert j \in J'\}\): \(S \subseteq \cup_{j \in J'} U_j\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists J \subseteq J' (J \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）セット（集合）たち }\} \land S \subseteq \cup_{j \in J} U_j)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, b_2, ...\}\)を持つことを見る; ステップ2: 各\(s \in S\)に対して、以下を満たすある\(U_j\)およびある\(b_l \in B\)、つまり、\(s \in b_l \subseteq U_j\)、を取り、あるマップ（写像）\(f: S \to B\)およびあるマップ（写像）\(g: f (S) \to \{U_j \vert j \in J'\}\)を取り、\(S\)は\(g \circ f (S)\)によってカバーされることを見る; ステップ3: \(g \circ f (S)\)はカウンタブル（可算）であることを見る。
ステップ1:
任意のセパラブル（可分）メトリックスペース（計量付き空間）はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）であるという命題によって、\(T\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, b_2, ...\}\)を持つ。
ステップ2:
\(s \in S\)を任意のものとしよう。
\(S \subseteq \cup_{j \in J'} U_j\)であるから、以下を満たすある\(U_j\)、つまり、\(s \in U_j\)、がある。
\(U_j\)は\(s\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、以下を満たすある\(b_l\)、つまり、\(s \in b_l \subseteq U_j\)、がある。
したがって、あるマップ（写像）\(f: S \to B, s \mapsto b_l\)を取ることができる。
そして、以下を満たすあるマップ（写像）\(g: f (S) \to \{U_j \vert j \in J'\}\)、つまり、各\(b_l \in f (S)\)に対して、\(b_l \subseteq g (b_l)\)、を取ることができる、それが可能である、なぜなら、\(b_l\)を、\(b_l \subseteq U_j\)を満たすある\(U_j\)があるように選んだ: 以下を満たすいくつかの\(s, s' \in S\)、つまり、\(s \neq s'\)で\(s, s' \in b_l\)で\(b_l\)は\(s \in b_l \subseteq U_j\)かつ\(s' \in b_l \subseteq U_{j'}\)として選ばれ、\(U_j \neq U_{j'}\)である、があるかもしれないが、それは問題ではない: ポイントは、以下を満たす少なくとも1個の\(U_j\)、つまり、\(b_l \subseteq U_j\)、があるということであり、私たちは、いくつかの可能な複数のオプションたちからある\(U_j\)を選ぶ。
\(S\)は\(g \circ f (S) \subseteq \{U_j \vert j \in J'\}\)によってカバーされている、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、\(s \in f (s) \subseteq g (f (s))\)。
ステップ3:
\(g \circ f (S) = g (f (S))\)はカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(f (S) \subseteq B\)はカウンタブル（可算）である、任意のマップ（写像）に対して、当該レンジ（値域）のカーディナリティ（濃度）は当該ドメイン（定義域）のカーディナリティ（濃度）に等しいかそれより小さいという命題によって。
