513: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジー

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メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）の定義の定義を知っている。
• 読者は、トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}$
$\ast O$: $\in \{T\text{ の全てのトポロジーたち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }S\subseteq T(S\in O⟺(\mathrm{\forall }p\in S(\mathrm{\exists }ϵ\in \mathbb{R}(0<ϵ\wedge (B_{p,ϵ}\subseteq S)))))$、ここで、$B_{p,ϵ}$は$p$周りの半径$ϵ$のオープンボール（開球）
//

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2: 自然言語記述

任意のメトリックスペース（計量付き空間）$T$に対して、以下を満たすトポロジー$O$、つまり、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$S$はオープン（開）である、もしも、各$p\in S$に対して、以下を満たすあるポジティブ（正）$ϵ\in \mathbb{R}$、つまり、$B_{p,ϵ}\subseteq S$、がある場合

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3: 注

それは実際にトポロジーである: $\mathrm{\varnothing }\in O$; $T\in O$; 任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のオープンサブセット（開部分集合）たち$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$および$U:={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$に対して、任意の$p\in U$に対して、任意の固定した$\alpha$に対して$B_{p,{ϵ}_{\alpha }}\subseteq U_{\alpha }$、そして、$B_{p,{ϵ}_{\alpha }}\subseteq U_{\alpha }\subseteq U$; 任意のファイナイト（有限）数のオープンサブセット（開部分集合）たち$U_1,...,U_k$および$U:={\cap }_{j=1,..,k}{U}_k$に対して、任意の$p\in U$に対して、各$j$に対して$B_{p,{ϵ}_j}\subseteq U_j$、そして、$ϵ:=min\{{ϵ}_j\}$に対して、$0<ϵ$および$B_{p,ϵ}\subseteq U$。

各$p\in T$および各$ϵ$に対して、$B_{p,ϵ}\in O$、なぜなら、任意の$p^{\prime }\in B_{p,ϵ}$に対して、$dist(p,p^{\prime })\le ϵ$、したがって、$B_{p^{\prime },ϵ-dist(p,p^{\prime })}$に対して、各$p^{″}\in B_{p^{\prime },ϵ-dist(p,p^{\prime })}$に対して、$dist(p^{″},p^{\prime })<ϵ-dist(p,p^{\prime })$、しかし、$dist(p^{″},p)\le dist(p^{″},p^{\prime })+dist(p^{\prime },p)<ϵ-dist(p,p^{\prime })+dist(p^{\prime },p)=ϵ$、それが意味するのは、$B_{p^{\prime },ϵ-dist(p,p^{\prime })}\subseteq B_{p,ϵ}$。

本定義の中で、'オープンボール（開球）'は、'オープンキューブ（開立方体）'で置き換えることができる、コンセプトを全く変えることなく、なぜなら、もしも、あるオープンボール（開球）があれば、その中に包含されたオープンキューブ（開立方体）があるし、もしも、あるオープンキューブ（開立方体）があれば、その中に包含されたあるオープンボール（開球）がある。

場合によっては、'オープンキューブ（開立方体）'のほうが便利であり、'オープンボール（開球）'の代わりに'オープンキューブ（開立方体）'を使っても安全である。

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参考資料

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