メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）の定義の定義を知っている。
- 読者は、トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(*O\): \(\in \{ T\text{ の全てのトポロジーたち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall S \subseteq T (S \in O \iff (\forall p \in S (\exists \epsilon \in \mathbb{R} (0 \lt \epsilon \land (B_{p, \epsilon} \subseteq S)))))\)、ここで、\(B_{p, \epsilon}\)は\(p\)周りの半径\(\epsilon\)のオープンボール（開球）
//
2: 自然言語記述
任意のメトリックスペース（計量付き空間）\(T\)に対して、以下を満たすトポロジー\(O\)、つまり、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)はオープン（開）である、もしも、各\(p \in S\)に対して、以下を満たすあるポジティブ（正）\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{p, \epsilon} \subseteq S\)、がある場合
3: 注
それは実際にトポロジーである: \(\emptyset \in O\); \(T \in O\); 任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のオープンサブセット（開部分集合）たち\(\{U_\alpha \vert \alpha \in A\}\)および\(U := \cup_{\alpha \in A} U_\alpha\)に対して、任意の\(p \in U\)に対して、任意の固定した\(\alpha\)に対して\(B_{p, \epsilon_\alpha} \subseteq U_\alpha\)、そして、\(B_{p, \epsilon_\alpha} \subseteq U_\alpha \subseteq U\); 任意のファイナイト（有限）数のオープンサブセット（開部分集合）たち\(U_1, ..., U_k\)および\(U := \cap_{j = 1, .., k} U_k\)に対して、任意の\(p \in U\)に対して、各\(j\)に対して\(B_{p, \epsilon_j} \subseteq U_j\)、そして、\(\epsilon := \min \{\epsilon_j\}\)に対して、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{p, \epsilon} \subseteq U\)。
各\(p \in T\)および各\(\epsilon\)に対して、\(B_{p, \epsilon} \in O\)、なぜなら、任意の\(p' \in B_{p, \epsilon}\)に対して、\(dist (p, p') \le \epsilon\)、したがって、\(B_{p', \epsilon - dist (p, p')}\)に対して、各\(p'' \in B_{p', \epsilon - dist (p, p')}\)に対して、\(dist (p'', p') \lt \epsilon - dist (p, p')\)、しかし、\(dist (p'', p) \le dist (p'', p') + dist (p', p) \lt \epsilon - dist (p, p') + dist (p', p) = \epsilon\)、それが意味するのは、\(B_{p', \epsilon - dist (p, p')} \subseteq B_{p, \epsilon}\)。
本定義の中で、'オープンボール（開球）'は、'オープンキューブ（開立方体）'で置き換えることができる、コンセプトを全く変えることなく、なぜなら、もしも、あるオープンボール（開球）があれば、その中に包含されたオープンキューブ（開立方体）があるし、もしも、あるオープンキューブ（開立方体）があれば、その中に包含されたあるオープンボール（開球）がある。
場合によっては、'オープンキューブ（開立方体）'のほうが便利であり、'オープンボール（開球）'の代わりに'オープンキューブ（開立方体）'を使っても安全である。
