セパラブル（可分）メトリックスペース（計量付き空間）はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセパラブル（可分）メトリックスペース（計量付き空間）はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(T \in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）\(S = \{p_j \in T \vert j \in J\}\)を取り、オープンボール（開球）たちのセット（集合）\(B := \{B_{p_j, q} \subseteq T \vert j \in J, q \in \mathbb{Q}_+\}\)を取る; ステップ2: \(B\)は\(T\)に対するベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
あるカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）\(S = \{p_j \in T \vert j \in J\} \subseteq T\)、ここで、\(J\)はカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、がある。
オープンボール（開球）たちのセット（集合）\(B := \{B_{p_j, q} \subseteq T \vert j \in J, q \in \mathbb{Q}_+\}\)、ここで、\(\mathbb{Q}_+\)はポジティブ（正）ラショナルナンバー（有理数）たちセット（集合）、のことを考えよう。
\(B\)はカウンタブル（可算）セット（集合）である。
ステップ2:
\(B\)は\(T\)に対するベーシス（基底）であることを見よう。
各\(B_{p_j, q} \subseteq T\)はオープン（開）である。
各\(p_j \in S\)および\(p_j\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_j} \subseteq T\)に対して、ある\(B_{p_j, q} \subseteq U_{p_j}\)がある、なぜなら、\(T\)は当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つ。\(p_j \in B_{p_j, q} \subseteq U_{p_j}\)。
各\(p \in T \setminus S\)および\(p\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)に対して、\(p\)の周りの以下を満たすあるオープンボール\(B_{p, \epsilon} \subseteq T\)、つまり、\(B_{p, \epsilon} \subseteq U_p\)、がある、なぜなら、\(T\)は当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つ。
以下を満たすある\(p_j \in S\)、つまり、\(p_j \in B_{p, \epsilon / 4}\)、がある、なぜなら、\(T\)はセパラブル（可分）である: \(p\)は\(S\)のアキュームレーション（集積）ポイントである。
\(q \in \mathbb{Q}_+\)を、\(\epsilon / 4 \lt q \lt \epsilon / 2\)を満たす任意のものとしよう。
\(B_{p_j, q} \subseteq B_{p, \epsilon}\)、なぜなら、各\(p' \in B_{p_j, q}\)に対して、\(dist (p', p) \le dist (p', p_j) + dist (p_j, p) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 4 = 3 / 4 \epsilon\)。したがって、\(p \in B_{p_j, q} \subseteq B_{p, \epsilon} \subseteq U_p\)。
したがって、\(B\)は\(T\)対するベーシス（基底）であり、\(T\)はセカンドカウンタブル（可算）である。
