セット（集合）に対して、トポロジーたちのインターセクション（共通集合）はトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のトポロジーたちのインターセクション（共通集合）はトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{O_j \vert j \in J\}\): \(O_j \in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)、ここで、\(J \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(O\): \(= \cap_{j \in J} O_J\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O \in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(O\)は、トポロジーであるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(O\)はトポロジーであるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
1) \(\emptyset \in O\)および\(S \in O\): \(\emptyset \in O_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(\emptyset \in O\); \(S \in O_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(S \in O\)。
2) 任意の\(U_1 \in O\)および任意の\(U_2 \in O\)に対して、\(U_1 \cap U_2 \in O\): \(U_1, U_2 \in O_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(U_1 \cap U_2 \in O_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(U_1 \cap U_2 \in O\)。
3) 任意の\(U_l \in O\)、ここで、\(l \in L\)、ここで、\(L\)は必ずしもカウンタブル（可算）でない任意のインデックスセット（集合）、に対して、\((\cup_{l \in L} U_L) \in O\): \(U_l \in O_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\((\cup_{l \in L} U_l) \in O_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\((\cup_{l \in L} U_l) \in O\)。
