セット（集合）に対して、トポロジーたちのユニオン（和集合）は必ずしもトポロジーではないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、何らかのトポロジーたちのユニオン（和集合）は必ずしもトポロジーではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{O_j \vert j \in J\}\): \(O_j \in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)、ここで、\(J \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(O\): \(= \cup_{j \in J} O_J\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、\(O \in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: ある反例を見る。
ステップ1:
ある反例を見よう。
\(S = \{0, 1, 2\}\)、\(O_1 = \{\emptyset, \{0\}, S\}\)、\(O_2 = \{\emptyset, \{1\}, S\}\)としよう。
すると、\(O = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, S\}\)はトポロジーではない、なぜなら、\(\{0\} \cup \{1\} = \{0, 1\} \notin O\)。
