トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）セット（集合）のインターセクション（共通集合）のバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）たちのバウンダリー（境界）たちのユニオン（和集合）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないセット（集合）のインターセクション（共通集合）のバウンダリー（境界）は当該サブセット（部分集合）たちのバウンダリー（境界）たちのユニオン（和集合）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\): \(\in \{T \text{ のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cup_{j \in J} Bou (S_j)\)
//
2: 注
等号は必ずしも成立しない、たとえ、\(J\)がファイナイト（有限）であっても。
例えば、\(T = \mathbb{R}\)がユークリディアントポロジーを持つもの、\(\{S_1 = (-1, 0), S_2 = (0, 1)\}\)としよう、すると、\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) = Bou ((-1, 0) \cap (0, 1)) = Bou (\emptyset) = \emptyset \subset \cup_{j \in J} Bou (S_j) = Bou ((-1, 0)) \cup Bou ((0, 1)) = \{-1, 0\} \cap \{0, 1\} = \{-1, 0, 1\}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)がインフィニット（無限）である時は、\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) = \emptyset\); ステップ2: \(J\)がファイナイト（有限）である時、\(s \in Bou (\cap_{j \in J} S_j)\)を任意のものとし、\(s \in \cup_{j \in J} Bou (S_j)\)であることを見る。
ステップ1:
本命題は、\(J\)はインフィニット（無限）かもしれず\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）であると言っているところ、実のところ、\(J\)がインフィニット（無限）である時は、\(\cap_{j \in J} S_j = \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(s \in \cap_{j \in J} S_j\)であった場合、\(s\)の任意のネイバーフッド（近傍）は各\(S_j\)と交わることになる、したがって、\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\)はローカルにファイナイト（有限）ではないことになる、矛盾、したがって、そうした\(s\)はない。
すると、\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) = Bou (\emptyset) = \emptyset\)。
すると、\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cup_{j \in J} Bou (S_j)\)。
ステップ2:
\(J\)はファイナイト（有限）であると仮定しよう。
\(s \in Bou (\cap_{j \in J} S_j)\)を任意のものとしよう。
\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) = \overline{\cap_{j \in J} S_j} \cap \overline{T \setminus \cap_{j \in J} S_j}\)、定義によって。
\(T \setminus \cap_{j \in J} S_j = \cup_{j \in J} (T \setminus S_j)\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。
\(\overline{\cup_{j \in J} (T \setminus S_j)} = \cup_{j \in J} \overline{T \setminus S_j}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって: \(\{T \setminus S_j \vert j \in J\}\)はファイナイト（有限）である、したがって、ローカルにファイナイト（有限）である。
したがって、\(Bou (\cap_{j \in J} S_j) = \overline{\cap_{j \in J} S_j} \cap \cup_{j \in J} \overline{T \setminus S_j}\)。
他方で、\(\cup_{j \in J} Bou (S_j) = \cup_{j \in J} (\overline{S_j} \cap \overline{T \setminus S_j})\)。
\(\overline{\cap_{j \in J} S_j} \subseteq \cap_{j \in J} \overline{S_j}\)である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題によって、から、\(s \in \overline{\cap_{j \in J} S_j}\)、各\(j \in J\)に対して、\(s \in \overline{S_j}\)、そして、\(s \in \cup_{j \in J} \overline{T \setminus S_j}\)であるから、\(s \in \overline{T \setminus S_j}\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(s \in \overline{S_j} \cap \overline{T \setminus S_j}\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(s \in \cup_{j \in J} (\overline{S_j} \cap \overline{T \setminus S_j}) = \cup_{j \in J} Bou (S_j)\)。
したがって、\(s \in \cup_{j \in J} Bou (S_j)\)。
