リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）は任意のコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップするという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）たち }\}\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \to V_1\), \(\in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
\(f \circ s\): \(: \mathbb{N} \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \circ s \in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f \circ s\)はコーシーシーケンス（列）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt m, n\)を満たす各\(m, n \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s (n), s (m)) = \Vert s (n) - s (m) \Vert \lt \epsilon\)、がある。
\(dist (f \circ s (n), f \circ s (m)) = \Vert f \circ s (n) - f \circ s (m) \Vert = \Vert f (s (n) - s (m)) \Vert\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(= \Vert s (n) - s (m) \Vert\)、なぜなら、\(f\)は'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）である、\(\lt \epsilon\)。
したがって、\(f \circ s\)は、コーシーシーケンス（列）であるためのコンディションたちを満たす。
