'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの
\(*f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in V_1 (\Vert f (v) \Vert_2 = \Vert v \Vert_1)\)
//
2: 注
しばしば、"アイソメトリー（等長写像）"はバイジェクティブ（全単射）性を要求して使われるが、本定義はそれを要求しない、なぜなら、そうでなければ、非バイジェクティブ（全単射）ケースに対する名称を持たないということになる、その一方で、私たちは、バイジェクティブ（全単射）ケースに対しては"バイジェクティブ（全単射）アイソメトリー（等長写像）"を使えばよい。
注意として、本定義は、リニア（線形）性を要求しない。
リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たちおよびコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たちがあり得る、非リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たちも。
"コンディションたち"は、"当該インデュースト（誘導された）メトリックスペース（計量付き空間）たち間\(f\)は'メトリックスペース（計量付き空間）'アイソメトリー（等長写像）である"に等しくない、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）であると要求されていない: \(dist_2 (f (v_1), f (v_2)) = dist_1 (v_1, v_2)\)は\(\Vert f (v_1) - f (v_2) \Vert_2 = \Vert v_1 - v_2 \Vert_1\)に等しい、しかし、\(\Vert f (v_1) - f (v_2) \Vert_2 = \Vert f (v_1 - v_2) \Vert_2\)は保証されない、特に、\(\Vert v_1 \Vert_1 = \Vert v_1 - 0 \Vert_1 = \Vert f (v_1) - f (0) \Vert_2\)、しかし、\(\Vert f (v_1) - f (0) \Vert_2 = \Vert f (v_1) \Vert_2\)は保証されない。
