ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、アンチシンメトリック（反対称的）テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）のスタンダードベーシス（標準基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）これであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、アンチシンメトリック（反対称的）テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の任意のスタンダードベーシス（標準基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）これであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V^*\): \(= V \text{ のコベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_1, ..., b_d\}\)
\(B^*\): \(= V^* \text{ に対する } B \text{ のデュアルベーシス（基底） }\), \(= \{b^1, ..., b^d\}\)
\(B_q\): \(= \Lambda_q (V) \text{ に対する } B \text{ に関するスタンダードベーシス（標準基底） }\), \(= \{b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} \vert j_1 \lt ... \lt j_q\}\)
\(B_{q - 1}\): \(= \Lambda_{q - 1} (V) \text{ に対する } B \text{ に関するスタンダードベーシス（標準基底） }\), \(= \{b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{q - 1}} \vert j_1 \lt ... \lt j_{q - 1}\}\)
\(v\): \(\in V\), \(= v^j b_j\)
\(i_v\): \(: \Lambda_q (V) \to \Lambda_{q - 1} (V)\), \(= \text{ インテリア（内部）マルチプリケーション（乗法） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(i_v: \sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} \mapsto \sum_{(j_1, ..., j_{q - 1})} t'_{j_1, ..., j_{q - 1}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{q - 1}}\)、ここで、\(t'_{j_1, ..., j_{q - 1}}\)は以下のように決定される:
各\(j \notin \{j_1, ..., j_{q - 1}\}\)を\((j_1, ..., j_{q - 1})\)へ追加して以下を満たす\((l_1, ..., l_q)\)を得る、つまり、\((j_1, ..., j_{q - 1}) = (l_1, ..., \hat{l_m} = j, ..., l_q)\): \(j\)はユニークに\((l_1, ..., l_q)\)および\(m\)を決定する、したがって、\(m\)は\(m (j)\)のように\(j\)のファンクション（関数）として表わされる
\(t'_{j_1, ..., j_{q - 1}} = \sum_{j \notin \{j_1, ..., j_{q - 1}\}} t_{l_1, ..., l_q} (-1)^{m (j) - 1} v^j\)
//
2: 注
\(t'_{j_1, ..., j_{q - 1}}\)に対するフォーミュラはそれほどシンプルではない、しかし、それが、私たちが今のところ得ることのできた最上のものである。
\(q = d\)である時は、当該フォーミュラはよりシンプルである: \(\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}\)は、1項\(t_{1, ..., d} b^1 \wedge ... \wedge b^d\)だけからなる、そして、各\((j_1, ..., j_{q - 1})\)に対して、\((l_1, ..., l_q)\)は\((1, ..., d)\)に他ならない、そして、\(t'_{j_1, ..., j_{q - 1}} = t_{1, ..., d} (-1)^{m - 1} v^{l_m}\)。
例えば、\(d = 4\)である時、\(t_{1, ..., d} b^1 \wedge b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 \mapsto t_{1, ..., d} ((-1)^{1 - 1} v^1 b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 + (-1)^{2 - 1} v^2 b^1 \wedge b^3 \wedge b^4 + (-1)^{3 - 1} v^3 b^1 \wedge b^2 \wedge b^4 + (-1)^{4 - 1} v^4 b^1 \wedge b^2 \wedge b^3)\)、それは、\((t_{1, ..., d}) \mapsto (t_{1, ..., d} (-1)^{1 - 1} v^1, t_{1, ..., d} (-1)^{2 - 1} v^2, t_{1, ..., d} (-1)^{3 - 1} v^3, t_{1, ..., d} (-1)^{4 - 1} v^4)\)と記すことができる。
\(q \lt d\)に対するある例として、\(d = 4\)および\(q = 3\)としよう; \(t_{2, 3, 4} b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 + t_{1, 3, 4} b^1 \wedge b^3 \wedge b^4 + t_{1, 2, 4} b^1 \wedge b^2 \wedge b^4 + t_{1, 2, 3} b^1 \wedge b^2 \wedge b^3 \mapsto t_{2, 3, 4} i_v (b^2 \wedge b^3 \wedge b^4) + t_{1, 3, 4} i_v (b^1 \wedge b^3 \wedge b^4) + t_{1, 2, 4} i_v (b^1 \wedge b^2 \wedge b^4) + t_{1, 2, 3} i_v (b^1 \wedge b^2 \wedge b^3) = t_{2, 3, 4} (b^2 (v) b^3 \wedge b^4 - b^3 (v) b^2 \wedge b^4 + b^4 (v) b^2 \wedge b^3) + t_{1, 3, 4} (b^1 (v) b^3 \wedge b^4 - b^3 (v) b^1 \wedge b^4 + b^4 (v) b^1 \wedge b^3) + t_{1, 2, 4} (b^1 (v) b^2 \wedge b^4 - b^2 (v) b^1 \wedge b^4 + b^4 (v) b^1 \wedge b^2) + t_{1, 2, 3} (b^1 (v) b^2 \wedge b^3 - b^2 (v) b^1 \wedge b^3 + b^3 (v) b^1 \wedge b^2) = (t_{1, 2, 3} v^3 + t_{1, 2, 4} v^4) b^1 \wedge b^2 + (- t_{1, 2, 3} v^2 + t_{1, 3, 4} v^4) b^1 \wedge b^3 + (- t_{1, 2, 4} v^2 - t_{1, 3, 4} v^3) b^1 \wedge b^4 + (t_{1, 2, 3} v^1 + t_{2, 3, 4} v^4) b^2 \wedge b^3 + (t_{1, 2, 4} v^1 - t_{2, 3, 4} v^3) b^2 \wedge b^4 + (t_{1, 3, 4} v^1 + t_{2, 3, 4} v^2) b^3 \wedge b^4\)、それは、本命題に合致している: 例えば、\((t_{1, 2, 4} v^1 - t_{2, 3, 4} v^3) b^2 \wedge b^4\)は、\(j \notin \{2, 4\}\)は\(\{1, 3\}\)であり、\({2, 4}\)は拡張されて\((1, 2, 4)\)と\((2, 3, 4)\)になり、\(t_{1, 2, 4} v^1\)のプラスの理由は、\(1\)が\((1, 2, 4)\)の第1項であることで、\(- t_{2, 3, 4} v^3\)のマイナスの理由は、\(3\)が\((2, 3, 4)\)の第2項であること。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(i_v (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q})\)を計算する、任意の\(1\)-コベクトルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）または任意の(1\)-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の任意のベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）は、各コベクトルを当該ベクトルに作用させ残りのアンチシンメトライゼーション（反対称化）またはウェッジプロダクト（楔積）を取ったものにある符号を付けたものたちの合計であるという命題を使って; ステップ2: 各\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{q - 1}}\)のコエフィシェント（係数）を取る。
ステップ1:
\(i_v (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q})\)を計算しよう。
\(= v^j i_{b_j} (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q})\)、なぜなら、\(i_v (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}) = (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}) (v, \bullet) = (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}) (v^j b_j, \bullet) = v^j (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q}) (b_j, \bullet) = v^j i_{b_j} (\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q})\): \(\sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q} \in \Lambda_q (V)\)はマルチリニアマップ（多重線形写像）である。
\(= v^j \sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} i_{b_j} (b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_q})\)、なぜなら、インテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）は\(F\)-リニア（線形）である。
任意の\(1\)-コベクトルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）または任意の(1\)-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の任意のベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）は、各コベクトルを当該ベクトルに作用させ残りのアンチシンメトライゼーション（反対称化）またはウェッジプロダクト（楔積）を取ったものにある符号を付けたものたちの合計であるという命題によって、\(= v^j \sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} \sum_{m \in \{1, ..., q\}} (-1)^{m - 1} b^{j_m} (b_j) b^{j_1} \wedge ... \wedge \hat{b^{j_m}} \wedge ... \wedge b^{j_q} = v^j \sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} \sum_{m \in \{1, ..., q\}} (-1)^{m - 1} \delta_{j_m, j} b^{j_1} \wedge ... \wedge \hat{b^{j_m}} \wedge ... \wedge b^{j_q} = v^j \sum_{(j_1, ..., j_q)} t_{j_1, ..., j_q} (-1)^{m (j) - 1} b^{j_1} \wedge ... \wedge \hat{b^j} \wedge ... \wedge b^{j_q}\)、ここで、\(m (j)\)は\(j_m = j\)によって決定される: \(j \notin \{j_1, ..., j_q\}\)である時は、\((j_1, ..., j_q)\)の項は消える、したがって、それは、以下のように表わすことができる、つまり、\(= v^j \sum_{(l_1, ..., l_q) \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \in \{l_1, ..., l_q\}} t_{l_1, ..., l_q} (-1)^{m (j) - 1} b^{l_1} \wedge ... \wedge \hat{b^j} \wedge ... \wedge b^{l_q}\)。
それは、各\(j\)および\(j \in \{l_1, ..., l_q\}\)を満たす各\((l_1, ..., l_q)\)に関する表現である; 私たちが欲しいのは、各\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{q - 1}}\)に関する表現である。
各固定された\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{q - 1}}\)に対して、それに寄与する項目たちは、\(j \notin \{j_1, ..., j_{q - 1}\}\)および\(j\)が\((j_1, ..., j_{q - 1})\)に追加された\((l_1, ..., l_q)\)のものたちである。。
したがって、\(t'_{j_1, ..., j_{q - 1}} = \sum_{j \notin \{j_1, ..., j_{q - 1}\}} t_{l_1, ..., l_q} (-1)^{m (j) - 1} v^j\)。
