2025年10月12日日曜日

1362: トポロジカルスペース(空間)およびコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちでそのユニオン(和集合)はディスコネクテッド(連結されていない)であるものたちに対して、サブスペース(部分空間)たちの非空サブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)はディスコネクテッド(連結されていない)である

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トポロジカルスペース(空間)およびコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちでそのユニオン(和集合)はディスコネクテッド(連結されていない)であるものたちに対して、サブスペース(部分空間)たちの非空サブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)はディスコネクテッド(連結されていない)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)および任意のコネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちでそのユニオン(和集合)はディスコネクテッド(連結されていない)であるものたちに対して、当該サブスペース(部分空間)たちの任意の非空サブスペース(部分空間)たちのユニオン(和集合)はディスコネクテッド(連結されていない)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)たち }\}\)
\(\{T'_j \subseteq T \vert j \in J\}\): \(T'_j \in \{T \text{ の全てのコネクテッド(連結された)トポロジカルサブスペース(部分空間)たち }\}\)
\(\{T_j \subseteq T'_j \vert j \in J\}\): \(T_j \in \{T'_j \text{ の全てのトポロジカルサブスペース(部分空間)たち }\}\)で、\(T_j \neq \emptyset\)を満たすもの
//

ステートメント(言明)たち:
\(\cup_{j \in J} T'_j \in \{\text{ 全てのディスコネクテッド(連結されていない)トポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(\implies\)
\(\cup_{j \in J} T_j \in \{\text{ 全てのディスコネクテッド(連結されていない)トポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
//


2: 注


本命題が成立すると保証されない時を意識することの方がより重要かもしれない。

ある\(T'_j\)がディスコネクテッド(連結されていない)である時は、本命題は成立すると保証されない: \(\{T'_j \subseteq T \vert j \in J\} = \{T'_1, T'_2\}\)で、\(T'_1\)はディスコネクテッド(連結されていない)としよう、すると、\(\cup_{j \in J} T'_j = U'_1 \cup U'_2\)、ここで、\(U'_1, U'_2 \subseteq \cup_{j \in J} T'_j\)は、以下を満たす非空オープンサブセット(開部分集合)たち、つまり、\(U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)、しかし、\(T'_1\)は\(U'_1\)と\(U'_2\)の中へ分割されているかもしれない、なぜなら、\(T'_1\)はディスコネクテッド(連結されていない)である、そして、\(T'_2 \subseteq U'_1\)と仮定して、\(T_1\)を\(T'_1\)の\(U'_1\)部分と取り\(T_2 = T'_2\)と取ると、\(\cup_{j \in J} T_j = U'_1\)はコネクテッド(連結された)であるかもしれない。

ある\(T_j\)が空である時は、本命題は成立すると保証されない: \(\{T'_j \subseteq T \vert j \in J\} = \{T'_1, T'_2\}\)および\(T_1 = \emptyset\)としよう、すると、\(T_2 = T'_2\)と取ると、\(\cup_{j \in J} T_j = T'_2\)はコネクテッド(連結された)である。


3: 証明


全体戦略: ステップ1: 以下を満たす何らかの非空オープンサブセット(開部分集合)たち\(U'_1, U'_2 \subseteq \cup_{j \in J} T'_j\)、つまり、\(U'_1 \cup U'_2 = \cup_{j \in J} T'_j\)および\(U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)、を取る; ステップ2: 各\(T'_j\)は\(U'_1\)内にあるか\(U'_2\)内にあるかであることを見よう; ステップ3: \((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_1\)および\((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_2\)は\(\cup_{j \in J} T_j\)の以下を満たす非空オープンサブセット(開部分集合)、つまり、\(((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_1) \cup ((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_2) = \cup_{j \in J} T_j\)および\(((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_1) \cap ((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_2) = \emptyset\)、であることを見よう

ステップ1:

以下を満たす何らかの非空オープンサブセット(開部分集合)たち\(U'_1, U'_2 \subseteq \cup_{j \in J} T'_j\)、つまり、\(U'_1 \cup U'_2 = \cup_{j \in J} T'_j\)および\(U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)、がある、コネクテッド(連結された)トポロジカルスペース(空間)の定義によって。

それが意味するのは、以下を満たす何らかののオープンサブセット(開部分集合)たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(U'_1 = U_1 \cap \cup_{j \in J} T'_j\)および\(U'_2 = U_2 \cap \cup_{j \in J} T'_j\)、があること、サブスペース(部分空間)トポロジーの定義によって。

ステップ2:

各\(T'_j\)は、\(U'_1\)内にあるか\(U'_2\)内にあるかである、なぜなら、そうでなければ、\(T'_j = (T'_j \cap U_1) \cup (T'_j \cap U_2)\)(なぜなら、\(T'_j = (T'_j \cap U'_1) \cup (T'_j \cap U'_2) \subseteq (T'_j \cap U_1) \cup (T'_j \cap U_2) \subseteq T'_j\))、ここで、\(T'_j \cap U_1\)および\(T'_j \cap U_2\)は\(T'_j\)のオープンサブセット(開部分集合)であることになり、\((T'_j \cap U_1) \cap (T'_j \cap U_2) = \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(t \in (T'_j \cap U_1) \cap (T'_j \cap U_2)\)であったら、\(t \in U_1 \cap \cup_{j \in J} T'_j = U'_1\)および\(t \in U_2 \cap \cup_{j \in J} T'_j = U'_2\)、したがって、\(t \in U'_1 \cap U'_2\)、矛盾、そして、\(T'_j \cap U_1\)および\(T'_j \cap U_2\)は非空だということになる、\(T'_j\)がコネクテッド(連結された)であることに反する矛盾。

ある\(T'_j\)は\(U'_1\)内にある、なぜなら、そうでなければ、\(U'_1\)は空だということになる、矛盾; 同様に、ある\(T'_j\)は\(U'_2\)内にある。

ステップ3:

\((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_1 = (\cup_{j \in J} T_j) \cap (U_1 \cap \cup_{j \in J} T'_j) = (\cup_{j \in J} T_j) \cap \cup_{j \in J} T'_j \cap U_1 = (\cup_{j \in J} T_j) \cap U_1\)は\(\cup_{j \in J} T_j\)のオープンサブセット(開部分集合)である。

それは非空である、なぜなら、ある\(T'_j\)は\(U'_1\)内にあり、したがって、非空な\(T_j\)は\(U'_1\)内にある。

同様に、\((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_2\)は、\(\cup_{j \in J} T_j\)の非空オープンサブセット(開部分集合)である。

\(((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_1) \cup ((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_2) = \cup_{j \in J} T_j\)、なぜなら、各\(t \in \cup_{j \in J} T_j\)に対して、\(t \in U'_1\)または\(t \in U'_2\)。

\(((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_1) \cap ((\cup_{j \in J} T_j) \cap U'_2) = \emptyset\)、なぜなら、\(U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)。

したがって、\(\cup_{j \in J} T_j\)はディスコネクテッド(連結されていない)である。


参考資料


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