サインたちとコサインたちで互いに素な角速度たちを持つものたちのリニアコンビネーション（線形結合）に対して、もしも、それがコンスタントである場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サインファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、コサインファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、バンデルモンデデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、サインたちとコサインたちで任意の互いに素な角速度たちを持つものたちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）に対して、もしも、それがコンスタントである場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{\omega_1, ..., \omega_n\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、それは互いに素で\(0 \lt \omega_j\)
\(\{c_1, ..., c_n\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
\(\{c'_1, ..., c'_n\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
\(c\): \(\in \mathbb{R}\)
\(\{\theta_1, ..., \theta_n\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、\(0 \le \theta_j \lt 2 \pi\)
\(\{\theta'_1, ..., \theta'_n\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、\(0 \le \theta'_j \lt 2 \pi\)および\(\vert \theta'_j - \theta_j \vert \neq \pi / 2, 3 \pi / 2\)
\(f\): \(: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, t \mapsto c_1 cos (\omega_1 t + \theta_1) + ... + c_n cos (\omega_n t + \theta_n) + c'_1 sin (\omega_1 t + \theta'_1) + ... + c'_n sin (\omega_n t + \theta'_n)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \equiv c\)
\(\implies\)
\(\{c_1, ..., c_n, c'_1, ..., c'_n, c\} = \{0\}\)
//
2: 注
\(cos (\omega_j + \theta_j)\)と\(sin (\omega_j + \theta'_j)\)は本当にペアで現われる必要はない: もしも、\(c_j cos (\omega_j + \theta_j)\)だけが現われる場合、それは、単に\(c_j cos (\omega_j + \theta_j) + c'_j sin (\omega_j + \theta'_j)\)、\(c'_j = 0\)でもって。
コンディション\(\vert \theta'_j - \theta_j \vert \neq \pi / 2, 3 \pi / 2\)は要求される、なぜなら、そうでなければ、\(sin (\omega_j t + \theta'_t) = cos (\omega_j t + \theta_t) \text{ or } - cos (\omega_j t + \theta_t)\)、そして、実質上、\(c_j cos (\omega_j t + \theta_t)\)と\(c'_j sin (\omega_j t + \theta'_t)\)のコンビネーションは重複である。
本命題は、直感的には明らかであるように思われる、しかし、念の為にそれを証明しよう。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 第1に、\(\{\theta_1, ..., \theta_n\} = \{\theta'_1, ..., \theta'_n\} = \{0\}\)であると仮定する; ステップ2: \(d f / d t (0) = ... = d^{2 n} f / d t^{2 n} (0) = 0\)を取る; ステップ3: ステップ1ケースに対して、\(\{c_1, ..., c_n, c'_1, ..., c'_n, c\} = \{0\}\)を結論する; ステップ4: 次に、一般的ケースをステップ1へ還元する; ステップ5: 一般的ケースに対して、\(\{c_1, ..., c_n, c'_1, ..., c'_n, c\} = \{0\}\)を結論する。
ステップ1:
第1に、\(\{\theta_1, ..., \theta_n\} = \{\theta'_1, ..., \theta'_n\} = \{0\}\)と仮定しよう。
ステップ2:
\(d f / d t (0) = 0\)、しかし、\(d f / d t = - c_1 \omega_1 sin (\omega_1 t) - ... - c_n \omega_n sin (\omega_n t) + c'_1 \omega_1 cos (\omega_1 t) + ... + c'_1 \omega_n cos (\omega_n t)\)、そして、\(d f / d t (0) = - c_1 \omega_1 sin (0) - ... - c_n \omega_n sin (0) + c'_1 \omega_1 cos (0) + ... + c'_1 \omega_n cos (0) = c'_1 \omega_1 + ... + c'_n \omega_n = 0\)。
\(d^2 f / d t^2 (0) = 0\)、しかし、\(d^2 f / d t^2 = - c_1 {\omega_1}^2 cos (\omega_1 t) - ... - c_n {\omega_n}^2 cos (\omega_n t) - c'_1 {\omega_1}^2 sin (\omega_1 t) - ... - c'_1 {\omega_n}^2 sin (\omega_n t)\)、そして、\(d^2 f / d t^2 (0) = - c_1 {\omega_1}^2 cos (0) - ... - c_n {\omega_n}^2 cos (0) - c'_1 {\omega_1}^2 sin (0) - ... - c'_1 {\omega_n}^2 sin (0) = - c_1 {\omega_1}^2 - ... - c_n {\omega_1}^2 = 0\)。
\(d^3 f / d t^3 (0) = 0\)、しかし、\(d^3 f / d t^3 = c_1 {\omega_1}^3 sin (\omega_1 t) + ... + c_n {\omega_n}^3 sin (\omega_n t) - c'_1 {\omega_1}^3 cos (\omega_1 t) - ... - c'_1 {\omega_n}^3 cos (\omega_n t)\)、そして、\(d^3 f / d t^3 (0) = c_1 {\omega_1}^3 sin (0) + ... + c_n {\omega_n}^3 sin (0) - c'_1 {\omega_1}^3 cos (0) - ... - c'_1 {\omega_n}^3 cos (0) = - c'_1 {\omega_1}^3 - ... - c'_n {\omega_1}^3 = 0\)。
等々と続く、\(d^{2 n} f / d t^{2 n} (0) = 0\)まで。
結局、\({\omega_1}^{2 (1)} c_1 + ... + {\omega_n}^{2 (1)} c_n = 0\)、...、\({\omega_1}^{2 (n)} c_1 + ... + {\omega_n}^{2 (n)} c_n = 0\)および\(c'_1 {\omega_1}^{2 (0) + 1} + ... + c'_n {\omega_n}^{2 (0) + 1} = 0\)、...、\(c'_1 {\omega_1}^{2 (n - 1) + 1} + ... + c'_n {\omega_n}^{2 (n - 1) + 1} = 0\)を得た。
ステップ3:
\(M := \begin{pmatrix} {\omega_1}^{2 (1)} & ... & {\omega_n}^{2 (1)} \\ ... \\ {\omega_1}^{2 (n)} & ... & {\omega_n}^{2 (n)} \end{pmatrix}\)および\(M' := \begin{pmatrix} {\omega_1}^{2 (0) + 1} & ... & {\omega_n}^{2 (0) + 1} \\ ... \\ {\omega_1}^{2 (n - 1) + 1} & ... & {\omega_n}^{2 (n - 1) + 1} \end{pmatrix}\)を取ろう。
\(M \begin{pmatrix} c_1 \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} = 0\)および\(M' \begin{pmatrix} c'_1 \\ ... \\ c'_n \end{pmatrix} = 0\)。
しかし、\(det M = {\omega_1}^{2 (1)} \begin{pmatrix} 1 & ... & {\omega_n}^{2 (1)} \\ {\omega_1}^{2 (1)} & ... & {\omega_n}^{2 (2)} \\ ... \\ {\omega_1}^{2 (n - 1)} & ... & {\omega_n}^{2 (n)} \end{pmatrix}\)、デターミナント（行列式）のあるプロパティによって、そして、同様に、\(= ... = {\omega_1}^{2 (1)} ... {\omega_n}^{2 (1)} \begin{pmatrix} 1 & ... & 1 \\ {\omega_1}^{2 (1)} & ... & {\omega_n}^{2 (1)} \\ ... \\ {\omega_1}^{2 (n - 1)} & ... & {\omega_n}^{2 (n - 1)} \end{pmatrix} = {\omega_1}^{2 (1)} ... {\omega_n}^{2 (1)} D_n ({\omega_1}^2, ..., {\omega_n}^2)\)、ここで、\(D_n\)は、バンデルモンデデターミナント（行列式）、そして、\(\{\omega_1, ..., \omega_n\}\)は互いに素であるから、\(\{{\omega_1}^2, ..., {\omega_n}^2\}\)は互いに素である、そして、\(det M \neq 0\)。
\(det M' = \omega_1 \begin{pmatrix} 1 & ... & \omega_n \\ {\omega_1}^{2 (1)} & ... & {\omega_n}^{2 (1) + 1} \\ ... \\ {\omega_1}^{2 (n - 1)} & ... & {\omega_n}^{2 (n - 1) + 1} \end{pmatrix}\)、デターミナント（行列式）のあるプロパティによって、そして、同様に、\(= ... = \omega_1 ... \omega_n \begin{pmatrix} 1 & ... & 1 \\ {\omega_1}^{2 (1)} & ... & {\omega_n}^{2 (1)} \\ ... \\ {\omega_1}^{2 (n - 1)} & ... & {\omega_n}^{2 (n - 1)} \end{pmatrix} = \omega_1 ... \omega_n D_n ({\omega_1}^2, ..., {\omega_n}^2)\)、そして、\(det M' \neq 0\)、同様に。
連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールによって、\(\{c_1, ..., c_n\} = \{c'_1, ..., c'_n\} = \{0\}\)。
不可避に、\(c = 0\)。
ステップ4:
次に、一般的ケースに対処しよう。
\(c_j cos (\omega_j t + \theta_j) + c'_j sin (\omega_j t + \theta'_j) = c_j (cos (\omega_j t) cos (\theta_j) - sin (\omega_j t) sin (\theta_j)) + c'_j (sin (\omega_j t) cos (\theta'_j) + cos (\omega_j t) sin (\theta'_j)) = (c_j cos (\theta_j) + c'_j sin (\theta'_j)) cos (\omega_j t) + (- c_j sin (\theta_j) + c'_j cos (\theta'_j)) sin (\omega_j t)\)。
したがって、一般的ケースはステップ1ケースに還元される、\(c_j cos (\theta_j) + c'_j sin (\theta'_j)\)および\(- c_j sin (\theta_j) + c'_j cos (\theta'_j)\)を\(c_j\)および\(c'_j\)の代わりとして。
ステップ5:
ステップ3によって、\(c_j cos (\theta_j) + c'_j sin (\theta'_j) = 0\)および\(- c_j sin (\theta_j) + c'_j cos (\theta'_j) = 0\)。
第1等式に\(sin (\theta_j)\)を掛け、第2等式に\(cos (\theta_j)\)を掛け、それら2個の等式たちを足すと、\(c'_j sin (\theta'_j) sin (\theta_j) + c'_j cos (\theta'_j) cos (\theta_j) = 0\)、しかし、左辺は、\(c'_j (sin (\theta'_j) sin (\theta_j) + cos (\theta'_j) cos (\theta_j))\)。
コンディション\(\vert \theta'_j - \theta_j \vert \neq \pi / 2, 3 \pi / 2\)は、\(sin (\theta'_j) sin (\theta_j) + cos (\theta'_j) cos (\theta_j) \neq 0\)を含意する。
したがって、\(c'_j = 0\)。
したがって、\(c_j = 0\)。
したがって、不可避に、\(c = 0\)。
