フィールド（体）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）（ポリノミアル（多項式）次元数より多くの要素たちを持つ）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)で、\(m\)個より多くの要素たちを持つもの
\(p (x_1, ..., x_n)\): \(= \sum_{j_1 + ... + j_n = m} p_{j_1, ..., j_n} {x_1}^{j_1} ... {x_n}^{j_n} + ... + \sum_{j_1 + ... + j_n = 0} p_{j_1, ..., j_n} {x_1}^{j_1} ... {x_n}^{j_n}\)、ここで、\(j_l \in \mathbb{N}\), \(\in \{F \text{ 上方の全てのポリノミアル（多項式）たちで変数たち } x_1, ..., x_n \text{ を持つものたち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p (x_1, ..., x_n) \equiv 0\)
\(\implies\)
\(\forall l \in \{0, ..., m\} (\forall (j_1, ..., j_n) \text{ で以下を満たすもの } j_1 + ... + j_n = l (p_{j_1, ..., j_n} = 0))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p (x_1, ..., x_n)\)を\(x_1\)のポリノミアル（多項式）とみなす、各固定された\((x_2, ..., x_n)\)を持って、そして、各コエフィシェント（係数）は\(0\)であることを見る; ステップ2: ステップ1の各コエフィシェント（係数）を\(x_2\)のポリノミアル（多項式）とみなす、各固定された\((x_3, ..., x_n)\)を持って、そして、各コエフィシェント（係数）は\(0\)であることを見る; ステップ3: 等々と続く。
ステップ1:
\(p (x_1, ..., x_n) = p_m {x_1}^m + ... + p_0 {x_1}^0\)、ここで、\(p_j\)は\(x_2, ..., x_n\)のポリノミアル（多項式）である: \(p_m := p_{m, 0, ..., 0} {x_2}^0 ... {x_n}^0\)、\(p_{m - 1} := \sum_{m - 1 + j_2 + ... + j_n = m} p_{m - 1, j_2, ..., j_n} {x_2}^{j_2} ... {x_n}^{j_n} + p_{m - 1, 0, ..., 0} {x_2}^0 ... {x_n}^0\)、...。
\((x_2, ..., x_n)\)を任意の値で固定しよう。
すると、\(p (x_1) := p (x_1, ..., x_n)\)は、\(x_1\)の\(F\)上方のポリノミアル（多項式）である。
もしも、\(l\)が\(p_l \neq 0\)である最大のものであったら、\(p (x_1)\)は最大\(l\)個の根たちを持つ、任意のフィールド（体）上方にて、任意のn次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないという命題によって、\(p (x_1, ..., x_n) \equiv 0\)に反する矛盾、それが意味するのは、\(p (x_1)\)は\(F\)全体を根たちとして持つということ（\(F\)は、\(m\)個より多くの要素たちを持つ）。
したがって、全てのコエフィシェント（係数）たち\(p_j\)たちは\(0\)である、各固定された\((x_2, ..., x_n)\)に対して、したがって、\(p_j \equiv 0\)。
ステップ2:
各\(p_{j_1} (x_2, ..., x_n)\)は、\((x_2, ..., x_n)\)のポリノミアル（多項式）でコンスタントに\(0\)である。
\(p_{j_1} (x_2, ..., x_n) = p_{j_1, m - j_1} {x_2}^{m - j_1} + ... + p_{j_1, 0} {x_2}^0\)、ここで、\(p_{j_1, j}\)は\(x_3, ..., x_n\)のポリノミアル（多項式）である: \(p_{j_1, m - j_1} := p_{j_1, m - j_1, 0, ..., 0} {x_3}^0 ... {x_n}^0\)、\(p_{j_1, m - j_1 - 1} := \sum_{j_1 + (m - j_1 - 1) + j_3 + ... + j_n = m} p_{j_1, m - j_1 - 1, j_3, ..., j_n} {x_3}^{j_3} ... {x_n}^{j_n} + p_{j_1, m - j_1 - 1, 0, ..., 0} {x_3}^0 ... {x_n}^0\)、...。
\((x_3, ..., x_n)\)を任意の値に固定しよう。
すると、\(p_{j_1} (x_2) := p_{j_1} (x_1, ..., x_n)\)は、\(x_2\)の\(F\)上方のポリノミアル（多項式）である。
もしも、\(l\)が\(p_{j_1, l} \neq 0\)を満たす最大のものであったら、\(p_{j_1} (x_2)\)は最大\(l\)個の根たちを持つことになる、前と同様、\(p_{j_1} (x_2, ..., x_n) \equiv 0\)に反する矛盾、それが意味するのは、\(p_{j_1} (x_2)\)は\(F\)全体を根たちとして持つということ。
したがって、全てのコエフィシェント（係数）たち\(p_{j_1, l}\)たちは\(0\)である、各固定された\((x_3, ..., x_n)\)に対して、したがって、\(p_{j_1, l} \equiv 0\)。
ステップ3:
等々と続く、結局、\(x_n\)のポリノミアル（多項式）たちを考えるが、そのコエフィシェント（係数）たちはコンスタントたちであり、全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)である。
しかし、各\(p_{j_1, ..., j_n}\)は、それらコンスタントコエフィシェント（係数）たちの内の1つである、なぜなら、\(p_{j_1, ..., j_n} {x_1}^{j_1} ... {x_n}^{j_n}\)は、\(p_{j_1}\)の中へ\(p_{j_1, ..., j_n} {x_2}^{j_2} ... {x_n}^{j_n}\)として入れられ、それは、\(p_{j_1, j_2}\)の中へ\(p_{j_1, ..., j_n} {x_3}^{j_3} ... {x_n}^{j_n}\)として入れられ、...、それは、\(p_{j_1, ..., j_n}\)になる、\(p_{j_1, ..., j_{n - 1}}\)のあるコンスタントコエフィシェント（係数）として。
したがって、\(p_{j_1, ..., j_n} = 0\)。
