バンデルモンデデターミナント（行列式）の定義
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バンデルモンデデターミナント（行列式）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{r_1, ..., r_n\}\): \(\subseteq F\)
\(*D_n (r_1, ..., r_n)\): \(= det \begin{pmatrix} {r_1}^{n - 1} & {r_1}^{n - 2} & ... & r_1 & 1 \\ ... \\ {r_n}^{n - 1} & {r_n}^{n - 2} & ... & r_n & 1 \end{pmatrix}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
実のところ、\(D_n (r_1, ..., r_n) = (r_1 - r_2) ... (r_1 - r_n) (r_2 - r_3) ... (r_2 - r_n) ... (r_{n - 1} - r_n)\)（\(n = 1\)である時は、それは、\(1\)である）。
その主張を証明しよう、インダクティブ（帰納的）に。
\(2 \le n\)であると仮定しよう。
\(\{r_1, ..., r_n\}\)が互いに素でない時は、\(D_n (r_1, ..., r_n) = 0\)、デターミナント（行列式）のあるプロパティによって（いくつかの行たちが同じである）、そして、\((r_1 - r_2) ... (r_1 - r_n) (r_2 - r_3) ... (r_2 - r_n) ... (r_{n - 1} - r_n) = 0\)、したがって、\(D_n (r_1, ..., r_n) = (r_1 - r_2) ... (r_1 - r_n) (r_2 - r_3) ... (r_2 - r_n) ... (r_{n - 1} - r_n)\)。
\(\{r_1, ..., r_n\}\)は互いに素であると仮定しよう、これ以降。
\(D_n (x, r_2, ..., r_n)\)は、\(x\)の'\(n - 1\)'-次ポリノミアル（多項式）である。
各\(j \in \{2, ..., n\}\)に対して、\(D_n (r_j, r_2, ..., r_n) = 0\)、デターミナント（行列式）のあるプロパティによって: 第\(1\)-番目行と第\(j\)-番目行は同じである。
したがって、\(D_n (x, r_2, ..., r_n) = r (x - r_2) ... (x - r_n)\)、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題によって。
\(r\)は\(x^{n - 1}\)のコエフィシェント（係数）である、しかし、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系によって、\(r = D_{n - 1} (r_2, ..., r_n)\)。
したがって、\(2 \le n\)である時、\(D_n (x, r_2, ..., r_n) = D_{n - 1} (r_2, ..., r_n) (x - r_2) ... (x - r_n)\)、したがって、\(D_n (r_1, r_2, ..., r_n) = (r_1 - r_2) ... (r_1 - r_n) D_{n - 1} (r_2, ..., r_n)\)。
\(n = 1\)である時、\(D_1 (r_1) = 1\)。
\(n = 2\)である時、\(D_2 (r_1, r_2) = (r_1 - r_2)\)。
任意の\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(D_n (r_1, ..., r_n) = (r_1 - r_2) ... (r_1 - r_n) (r_2 - r_3) ... (r_2 - r_n) ... (r_{n - 1} - r_n)\)であると仮定しよう。
\(D_{n + 1} (r_1, r_2, ..., r_{n + 1}) = (r_1 - r_2) ... (r_1 - r_{n + 1}) D_n (r_2, ..., r_{n + 1}) = (r_1 - r_2) ... (r_1 - r_{n + 1}) (r_2 - r_3) ... (r_2 - r_{n + 1}) (r_3 - r_4) ... (r_3 - r_{n + 1}) ... (r_n - r_{n + 1})\)。
したがって、当該主張は証明された。
\(\{r_1, ..., r_n\}\)は互いに素である、もしも、\(D_n \neq 0\)である場合、そしてその場合に限って。
