連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のマトリックス（行列）のランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールの記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(m\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times n F \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)で、ランク（階数）\(k\)を持ち、左上\(k \times k\)マトリックス（行列）は非ゼロデターミナント（行列式）を持つ
\(c\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times 1 F \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix} = c\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in \{k + 1, ..., m\} (det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = 0)\)
\(\iff\)
\(M \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix} = c\)は、いくつかの解たちを持つ
\(\iff\)
以下たちが解たちである: \((x^{k + 1}, ..., x^n)\)は恣意的; \(\begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^k \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} c^1 - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^1_j x^j \\ ... \\ c^k - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^k_j x^j \end{pmatrix}\)
//
本命題は、左上\(k \times k\)マトリックス（行列）が非ゼロデターミナント（行列式）を持つことを前提としている; もしも、そうでない場合、当該システムは並び替えてそうであるようにできる; したがって、本命題は、いかなるシステムにも適用できる。
\(k = m\)である時、当該コンディションは空虚に満たされている。
2: 注
\(x\)の別の\(n - k\)コンポーネントたちを恣意的に選ぶことができる可能性もある、しかし、それは、新たな解を作らない。
例えば、\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)としよう、すると、\(k = 1\)、そして、\(x^2\)を恣意的に取って\(x^1 = - 2 x^2\)たちは解たちである、しかし、当該システムは、\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^2 \\ x^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)とも表わすことができる、すると、\(x^1\)を恣意的に取って\(x^2 = - 1 / 2 x^1\)たちは解たちである、しかし、実のところ、後者の解たちセット（集合）は、前者の解たちセット（集合）に等しい。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m = n = k\)である時、\(x = M^{-1} c\)はユニークな解であることを見る; ステップ2: \(M \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix} = c\)はいくつかの解たちを持つと仮定し、\(det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = 0\)であることを見る; ステップ3: \(det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = 0\)であると仮定し、\(\begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} c^1 - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^1_j x^j \\ ... \\ c^k - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^k_j x^j \end{pmatrix}\)たちは解たちであることを見る。
ステップ1:
\(m = n = k\)という特殊なケースのことを考えよう。
それが意味するのは、\(det M \neq 0\)。
\(M\)のインバース（逆）\(M^{-1}\)がある、任意のフィールド（体）上方にて、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれであるという命題によって。
\(M^{-1} M \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix} = M^{-1} c\)、しかし、左辺は、\(I \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix}\)。
したがって、\(x = M^{-1} c\)は必要である。
そして、\(x = M^{-1} c\)は本当に解である、なぜなら、\(M x = M M^{-1} c = I c = c\)。
ステップ2:
\(M \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^n \end{pmatrix} = c\)はいくつかの解たちを持つと仮定しよう。
\(m = k\)である時、\(\forall j \in \{k + 1, ..., m\} (det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = 0)\)は空虚に真である。
\(k \lt m\)であると仮定しよう。
\(det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1} \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k} \\ M^j_1 & ... & M^j_k & \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j} \end{pmatrix}\)のことを考えよう。
\(= det \sum_{l \in \{1, ..., n\}} \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & M^1_l x^l \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & M^k_l x^l \\ M^j_1 & ... & M^j_k & M^j_l x^l \end{pmatrix} = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & M^1_l x^l \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & M^k_l x^l \\ M^j_1 & ... & M^j_k & M^j_l x^l \end{pmatrix}\)、コミュータティブ（可換）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のあるプロパティによって、\(= \sum_{l \in \{1, ..., n\}} x^l det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & M^1_l \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & M^k_l \\ M^j_1 & ... & M^j_k & M^j_l \end{pmatrix}\)、コミュータティブ（可換）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のあるプロパティによって。
各\(l \le k\)に対して、当該デターミナント（行列式）は\(0\)である、なぜなら、最終列は\(l\)-番目列と重複している; 各\(k \lt l\)に対して、当該デターミナント（行列式）は\(0\)である、なぜなら、\(M\)のランク（階数）は\(k\)である。
したがって、\(= 0\)。
したがって、\(det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} - 0 = det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} - det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1} \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k} \\ M^j_1 & ... & M^j_k & \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j} \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 - \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1} \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k - \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k} \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j} \end{pmatrix}\)、コミュータティブ（可換）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のいくつかのプロパティたちによって。
ある解\(x_0\)があるから、\(x = x_0\)を上記等式の中に入れよう、それは妥当である、なぜなら、当該等式は任意の\(x\)に対して成立する。
すると、最終列は\(0\)である、したがって、当該デターミナント（行列式）は\(0\)である。
したがって、\(det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = 0\)。
ステップ3:
\(\forall j \in \{k + 1, ..., m\} (det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix} = 0)\)であると仮定しよう。
\(N := \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 - \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1} \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k - \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k} \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j} \end{pmatrix}\)としよう。
任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系を最終列に関して適用することによって、\(det N = \sum_{p \in \{1, ..., n\}} N^p_{k + 1} N_{p, k + 1} = (c^1 - \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1}) N_{1, k + 1} + ... + (c^k - \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k}) N_{k, k + 1} + (c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j}) N_{k + 1, k + 1}\)、ここで、\(N_{k + 1, k + 1}\)は\(M\)の\(k \times k\)左上サブマトリックス（部分行列）のデターミナント（行列式）に他ならない、それは、非ゼロである。
ステップ2内で見られたとおり、\(det N = det \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k & c^1 \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k & c^k \\ M^j_1 & ... & M^j_k & c^j \end{pmatrix}\)、それは、\(0\)である、当該仮定によって。
したがって、\(det N = (c^1 - \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1}) N_{1, k + 1} + ... + (c^k - \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k}) N_{k, k + 1} + (c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j}) N_{k + 1, k + 1} = 0\)。
\((x^{k + 1}, ..., x^n)\)を任意のものとしよう。
上\(k\)等式たちのシステムは、\(\begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c^1 - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^1_j x^j \\ ... \\ c^k - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^k_j x^j \end{pmatrix}\)となる。
ステップ1によって、\(\begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} c^1 - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^1_j x^j \\ ... \\ c^k - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^k_j x^j \end{pmatrix}\)は、当該\(k\)等式たちのユニークな解である。
\((c^1 - \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1}) N_{1, k + 1} + ... + (c^k - \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k}) N_{k, k + 1} + (c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j}) N_{k + 1, k + 1} = 0\)に対して、\(c^1 - \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} x^{l_1} = ... = c^k - \sum_{l_k \in \{1, ..., n\}} M^k_{l_k} x^{l_k} = 0\)、したがって、\((c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j}) N_{k + 1, k + 1} = 0\)、しかし、\(N_{k + 1, k + 1} \neq 0\)であるから、\(c^j - \sum_{l_j \in \{1, ..., n\}} M^j_{l_j} x^{l_j} = 0\)。
したがって、そうした\(x\)たちは元のシステムを満たす。
したがって、元のシステムのいくつかの解たちがある。
他に解はない、なぜなら、\(\begin{pmatrix} x^1 \\ ... \\ x^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M^1_1 & ... & M^1_k \\ ... \\ M^k_1 & ... & M^k_k \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} c^1 - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^1_j x^j \\ ... \\ c^k - \sum_{j \in \{k + 1, ..., n\}} M^k_j x^j \end{pmatrix}\)は必要条件である: 任意の解\(x\)に対して、\((x^{k + 1}, ..., x^n)\)はある値を取る必要がある、そして、\((x^1, ..., x^k)\)はその値に対してユニークに決定される、そして、その解は、上記解たちの内の1つである。
したがって、そうした\(x\)たちが解たちである。
