メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）は\(G_\delta\)であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）は\(G_\delta\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(C \in \{T \text{ の全ての } G_\delta \text{ サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(U_j := \cup_{c \in C} B_{c, 1 / j}\)を取り、\(U := \cap_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} U_j\)を取る; ステップ2: \(C \subseteq U\)であることを見る; ステップ3: \(U \subseteq C\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(U_j := \cup_{c \in C} B_{c, 1 / j}\)を取ろう、ここで、\(B_{c, 1 / j}\)は\(c\)周りの\(1 / j\)-'オープンボール（開球）'である。
\(U_j\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。
\(U := \cap_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} U_j\)を取ろう。
\(U\)は\(G_\delta\)サブセット（部分集合）である。
ステップ2:
\(C \subseteq U\)であることを見よう。
各\(c \in C\)に対して、各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(c \in U_j\)、それが意味するのは、\(c \in U\)。
したがって、\(C \subseteq U\)。
ステップ3:
\(U \subseteq C\)であることを見よう。
\(u \in U\)を任意のものとしよう。
\(U_u \subseteq T\)を\(u\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たすある\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{u, \epsilon} \subseteq U_u\)、がある。
以下を満たすある\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(1 / j \lt \epsilon\)、がある。
\(u \in U\)であるから、\(u \in U_j\)、それが意味するのは、以下を満たすある\(c \in C\)、つまり、\(u \in B_{c, 1 / j}\)、があるということ、それが意味するのは、\(dist (u, c) \lt 1 / j\)、それが意味するのは、\(c \in B_{u, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{u, \epsilon} \cap C \neq \emptyset\)、したがって、\(U_u \cap C \neq \emptyset\)。
したがって、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、\(u \in \overline{C}\)。
しかし、\(C\)はクローズド（閉）であるから、\(\overline{C} = C\)、したがって、\(u \in C\)。
したがって、\(U \subseteq C\)。
ステップ4:
したがって、\(U = C\)、それが意味するのは、\(C\)は\(G_\delta\)サブセット（部分集合）であること。
