ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアンメトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハイネ-ボレル定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）はローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mathbb{R}^d \in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
あるメトリックスペース（計量付き空間）は必ずしもローカルにコンパクトではない、なぜなら、ハイネ-ボレル定理は必ずしもある一般のメトリックスペース（空間）には成立しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t \in \mathbb{R}^d\)を任意のものとし、\(N_t \subseteq \mathbb{R}^d\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）とし、以下を満たす任意の\(B_{t, \epsilon'}\)、つまり、\(B_{t, \epsilon'} \subseteq N_t\)、を取り、以下を満たす任意の\(B_{t, \epsilon}\)、つまり、\(\overline{B_{t, \epsilon}} \subseteq B_{t, \epsilon'}\)、を取る; ステップ2: \(\overline{B_{t, \epsilon}}\)は\(t\)のコンパクトネイバーフッド（近傍）であることを見る。
ステップ1:
\(t \in \mathbb{R}^d\)を任意のものとしよう。
\(N_t \subseteq \mathbb{R}^d\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(t\)周りの以下を満たすある\(\epsilon'\)-'オープンボール（開球）'\(B_{t, \epsilon'} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(B_{t, \epsilon'} \subseteq N_t\)、がある。
以下を満たす任意の\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(\epsilon \lt \epsilon'\)、に対して、\(\overline{B_{t, \epsilon}} \subseteq B_{t, \epsilon'}\)、なぜなら、\(t' \in \overline{B_{t, \epsilon}}\)は以下を含意する、つまり、各\(\epsilon'' \in \mathbb{R}\)に対して、\(B_{t', \epsilon''} \cap B_{t, \epsilon} \neq \emptyset\)、したがって、ある\(t'' \in B_{t', \epsilon''} \cap B_{t, \epsilon}\)があり、\(dist (t', t) \le dist (t', t'') + dist (t'', t) \lt \epsilon'' + \epsilon\)、しかし、\(\epsilon''\)は任意だから、\(dist (t', t) \le \epsilon \lt \epsilon'\)。
\(\overline{B_{t, \epsilon}} \subseteq N_t\)。
ステップ2:
\(\overline{B_{t, \epsilon}}\)はバウンデッド（有界）であり\(\mathbb{R}^d\)上でクローズド（閉）である。
ハイネ-ボレル定理によって、\(\overline{B_{t, \epsilon}}\)は\(\mathbb{R}^d\)のコンパクトサブセット（部分集合）である。
\(\overline{B_{t, \epsilon}}\)は、\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{t, \epsilon}\)を包含する。
したがって、\(\overline{B_{t, \epsilon}}\)は、\(t\)の\(N_t\)内に包含されているコンパクトネイバーフッド（近傍）である。
