2025年10月12日日曜日

1351: 非空トポロジカルスペース(空間)に対して、オープン(空)デンス(密)サブセット(部分集合)のコンプリメント(補)はデンス(密)でない

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非空トポロジカルスペース(空間)に対して、オープン(空)デンス(密)サブセット(部分集合)のコンプリメント(補)はデンス(密)でないことの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の非空トポロジカルスペース(空間)に対して、任意のオープン(空)デンス(密)サブセット(部分集合)のコンプリメント(補)はデンス(密)でないという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全ての非空トポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープン(開)デンス(密)サブセット(部分集合)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(T \setminus U \in \{T \text{ の全ての非デンス(密)サブセット(部分集合)たち }\}\)
//


2: 注


\(T = \emptyset\)である時は、\(U = \emptyset\)、それは、実際オープン(開)デンス(密)である、そして、\(T \setminus S = \emptyset\)、それもデンス(密)である。

\(U\)はオープン(開)である必要がある: \(T = \mathbb{R}\)、当該ユークリディアントポロジカルスペース(空間)として、および\(S = \mathbb{Q}\)に対して、 \(S\)は非オープン(開)デンス(密)である(各\(r \in T \setminus S\)、それは、任意のイラショナルナンバー(無理数)、に対して、\(r\)周りの各オープンボール(開球)はあるラショナルナンバー(有理数)を包含する)、しかし、\(T \setminus S\)はデンス(密)である(各\(r \in S\)、それは任意のラショナルナンバー(有理数)、に対して、\(r\)周りの各オープンボール(開球)はあるイラショナルナンバー(無理数)を包含する)。


3: 証明


全体戦略: ステップ1: \(T \setminus U\)はデンス(密)であったと仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

\(T \setminus U\)はデンス(密)であったと仮定しよう。

\(\overline{T \setminus U} = T\)、トポロジカルスペース(空間)のデンス(密)サブセット(部分集合)の定義によって。

\(T \setminus U\)はノーホエアデンス(どこでも密でない)であることになる、任意のトポロジカルスペース(空間)、その任意の空インテリア特にノーホエアデンス(どこでも密でない)サブセット(部分集合)に対して、当該サブセット(部分集合)のコンプリメント(補集合)はデンス(密)であるという命題によって、それが意味するのは、\(Int (\overline{T \setminus U}) = \emptyset\)。

しかし、それは、\(Int (T) = T = \emptyset\)になる、\(T\)が非空であることに反する矛盾。

したがって、\(T \setminus U\)はデンス(密)でない。


参考資料


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