グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、全コセット（剰余類）たちのセット（集合）は、カノニカル（自然）なマルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）を持つグループ（群）を形成するという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(\sim_l\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in g' G)\}\), \(\in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\sim_r\): \(= \{(g'_1, g'_2) \in G' \times G' \vert \exists g' \in G' (g'_1, g'_2 \in G g')\}\), \(\in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(G' / \sim_l\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）セット（集合） }\)
\(G' / \sim_r\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）セット（集合） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(G' / \sim_l \text{ でカノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）およびインバース（逆）を持つもの } \in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\implies\)
\(G \in \{\text{ 全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(G' / \sim_r \text{ でカノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）を持つもの } \in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\implies\)
\(G \in \{\text{ 全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
)
//
2: 注
\(G' / \sim_l\)および\(G' / \sim_r\)はクウォシェント（商）セット（集合）たちとしてウェルデファインド（妥当に定義された）であると保証されている、任意のグループ（群）および任意のサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題によって。
もしも、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合、\(G' / \sim_l = G' / \sim_r\)はクウォシェント（商）グループ（群）である、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、全コセット（剰余類）たちのセット（集合）は、カノニカル（自然）なマルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）を持つグループ（群）を形成するという命題によって; 本命題が主張しているのは、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である必要がある、\(G' / \sim_l\)または\(G' / \sim_r\)がカノニカル（ 正典）マルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）に関してグループ（群）であるためには、ということである。
実のところ、もしも、\(G\)がノーマルサブグループ（正規部分群）でない場合、カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）はウェルデファインド（妥当に定義された）ではない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(G' / \sim_l\)に対して、カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義された）であると仮定し、\(g \in G\)および\(g' \in G'\)を任意のものとし、\(g' g {g'}^{-1} \in G\)であることを見る; ステップ2: \(G' / \sim_r\)に対して、カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義された）であると仮定し、\(g \in G\)および\(g' \in G'\)を任意のものとし、\(g' g {g'}^{-1} \in G\)であることを見る。
ステップ1:
\(G' / \sim_l\)に対して、カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義された）であると仮定しよう。
"カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）"が意味しているのは、\([g'_1] [g'_2] = [g'_1 g'_2]\)である。
\(g \in G\)および\(g' \in G'\)を任意のものとしよう。
\(g'_1 \in G'\)を任意のものとしよう。
\(g_1 \in G\)を任意のものとしよう。
\([g'_1 g] = [g'_1]\)、なぜなら、\(g'_1, g'_1 g \in g'_1 G\)。
\([{g'}^{-1} g_1] = [{g'}^{-1}]\)、なぜなら、\({g'}^{-1}, {g'}^{-1} g_1 \in {g'}^{-1} G\)。
\([g'_1 g] [{g'}^{-1} g_1] = [g'_1] [{g'}^{-1}]\)、それが含意するのは、\([g'_1 g {g'}^{-1} g_1] = [g'_1 {g'}^{-1}]\)。
それが意味するのは、\(g'_1 g {g'}^{-1} g_1 \in g'_1 {g'}^{-1} G\)、それが意味するのは、\(g'_1 g {g'}^{-1} g_1 = g'_1 {g'}^{-1} g_2\)、ある\(g_2 \in G\)に対して。
したがって、\(g {g'}^{-1} g_1 = {g'}^{-1} g_2\)、したがって、\(g' g {g'}^{-1} = g_2 {g_1}^{-1} \in G\)。
それが意味するのは、各\(g' \in G'\)に対して、\(g' G {g'}^{-1} \subseteq G\)。
任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である。
ステップ2:
\(G' / \sim_r\)に対して、カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義された）であると仮定しよう。
"カノニカル（正典）マルチプリケーション（乗法）"が意味するのは、\([g'_1] [g'_2] = [g'_1 g'_2]\)である。
本ロジックは、\(G' / \sim_l\)に対するそれに平行的である。
\(g \in G\)および\(g' \in G'\)を任意のものとしよう。
\(g'_1 \in G'\)を任意のものとしよう。
\(g_1 \in G\)を任意のものとしよう。
\([g g'_1] = [g'_1]\)、なぜなら、\(g'_1, g g'_1 \in G g'_1\)。
\([g_1 g'] = [g']\)、なぜなら、\(g', g_1 g' \in G g'\)。
\([g_1 g'] [g g'_1] = [g'] [g'_1]\)、それが含意するのは、\([g_1 g' g g'_1] = [g' g'_1]\)である。
それが意味するのは、\(g_1 g' g g'_1 \in G g' g'_1\)、それが意味するのは、\(g_1 g' g g'_1 = g_2 g' g'_1\)、ある\(g_2 \in G\)に対して。
したがって、\(g_1 g' g = g_2 g'\)、したがって、\(g' g {g'}^{-1} = {g_1}^{-1} g_2 \in G\)。
それが意味するのは、各\(g' \in G'\)に対して、\(g' G {g'}^{-1} \subseteq G\)。
任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である。
