ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、各サブスペース（部分空間）と残りの合計が\(\{0\}\)でありサブスペース（部分空間）たちのディメンション（次元）たちの合計がスペース（空間）のディメンション（次元）である場合、スペース（空間）は、スペース（空間）、サブスペース（部分空間）たちのダイレクトサムとして、であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のファイナイト（有限）数のベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、各サブスペース（部分空間）とその残りの合計が\(\{0\}\)であり当該サブスペース（部分空間）たちのディメンション（次元）たちの合計が当該スペース（空間）のディメンション（次元）である場合、当該スペース（空間）は、スペース（空間）、当該サブスペース（部分空間）たちのダイレクトサムとして、であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(d\): \(\in \mathbb{N}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_n\}\): \(V_j \in \{V \text{ 全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall V_j \in \{V_1, ..., V_n\} (V_j \cap (V_1 + ... + V_{j - 1} + \widehat{V_j} + V_{j + 1} + ... + V_n) = \{0\})\)
\(\land\)
\(Dim (V) = Dim (V_1) + ... + Dim (V_n)\)
)
\(\implies\)
\(V\)は、ベクトルたちスペース（空間）、\(\{V_1, ..., V_n\}\)のダイレクトサムとして、である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(V_j\)に対して任意のベーシス（基底）\(B_j = \{b_{j, 1}, ..., b_{j, d_j}\}\)を取る; ステップ2: \(B := B_1 \cup ... \cup B_n\)は\(V\)に対するベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(V_j\)に対する任意のベーシス（基底）\(B_j = \{b_{j, 1}, ..., b_{j, d_j}\}\)を取ろう。
ステップ2:
\(B := B_1 \cup ... \cup B_n\)を取ろう。
\(B\)は\(V\)に対するベーシス（基底）であることを見よう。
\(\{B_1, ..., B_n\}\)は重複を持たない、なぜなら、もしも、何らかの\(j \neq p\)に対して\(b_{j, l} = b_{p, q}\)であったら、\(b_{j, l} = b_{p, q} \in V_j \cap V_p\)、\((V_j \cap (V_1 + ... + V_{j - 1} + \widehat{V_j} + V_{j + 1} + ... + V_n) = \{0\})\)に反する矛盾、なぜなら、\(V_p \subseteq V_1 + ... + V_{j - 1} + \widehat{V_j} + V_{j + 1} + ... + V_n\)および\(b_{j, l} = b_{p, q} \neq 0\)。
したがって、\(B\)は\(d = Dim (V_1) + ... + Dim (V_n)\)個要素たちを持つ。
\(r^{1, 1} b_{1, 1} + ... + r^{1, d_1} b_{1, d_1} + ... + r^{n, 1} b_{n, 1} + ... + r^{n, d_n} b_{n, d_n} = 0\)としよう。
各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(r^{j, 1} b_{j, 1} + ... + r^{j, d_j} b_{j, d_j} = - (r^{1, 1} b_{1, 1} + ... + r^{1, d_1} b_{1, d_1} + ... + \widehat{(r^{j, 1} b_{j, 1} + ... + r^{j, d_j} b_{j, d_j})} + ... + r^{n, 1} b_{n, 1} + ... + r^{n, d_n} b_{n, d_n})\)。
しかし、左辺は\(V_j\)上にあり右辺は\(V_1 + ... + V_{j - 1} + \widehat{V_j} + V_{j + 1} + ... + V_n\)上にある、したがって、左辺は\(V_j \cap (V_1 + ... + V_{j - 1} + \widehat{V_j} + V_{j + 1} + ... + V_n) = \{0\}\)上にある、したがって、\(r^{j, 1} b_{j, 1} + ... + r^{j, d_j} b_{j, d_j} = 0\)。
\(B_j\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、全ての\(r^{j, l}\)たちは\(0\)である。
\(j\)は恣意的であるから、全ての\(r^{j, l}\)たちは\(0\)である。
したがって、\(B\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
\(B\)は\(V\)に対するベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。
ステップ3:
各\(v \in V\)に対して、\(v = v^{1, 1} b_{1, 1} + ... + v^{1, d_1} b_{1, d_1} + ... + v^{n, 1} b_{n, 1} + ... + v^{n, d_n} b_{n, d_n}\)、なぜなら、\(B\)は\(V\)に対するベーシス（基底）である。
それが意味するのは、\(V = V_1 + ... + V_n\)。
したがって、\(V\)は、ベクトルたちスペース（空間）、\(\{V_1, ..., V_n\}\)のダイレクトサムとして、である。
