ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持つもの
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{V \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S^` = \{s_1, ..., s_n\} \subseteq S\)を取り、\(r^1 s_1 + ... + r^n s_n = 0\)を取り、\(r^j = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(S^` = \{s_1, ..., s_n\} \subseteq S\)を任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）としよう。
\(r^1 s_1 + ... + r^n s_n = 0\)、ここで、\(r^j \in F\)としよう。
\(j \in \{1, ..., n\}\)を任意のものとしよう。
\(r^j = r^j \langle s_j, s_j \rangle = \langle r^1 s_1 + ... + r^n s_n, s_j \rangle = \langle 0, s_j \rangle = 0\)。
したがって、\(S\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
