ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたちのコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたち（任意のベーシス（基底）に関する）のコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)、\(= \{b_1, .., b_d\}\)
\(s\): \(: J \to V, t \mapsto s^j (t) b_j\), \(\in \{J \text{ による全てのネットたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists lim s\)
\(\iff\)
\(\forall j \in \{1, ..., d\} (\exists lim s^j)\)
)
\(\land\)
(
\(\exists lim s\)
\(\implies\)
\(lim s = (lim s^j) b_j\)
)
//
\(s^j: J \to F\)は、\(F\)をユークリディアントポロジカルスペース（空間）またはコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）とみなしてのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとみなされている。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim s\)は存在すると仮定し、それを\(v = v^j b_j\)と記す; ステップ2: \(lim s^j\)は存在し\(v^j\)に等しいことを見る; ステップ3: \(lim s^j\)は存在すると仮定し、それを\(v^j\)と記す; ステップ4: \(lim s\)は存在し\(v^j b_j\)に等しいことを見る。
ステップ0:
\(V\)のトポロジーをあるベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)に基づいて定義しよう、しかし、実のところ、当該トポロジーは当該ベーシス（基底）の選択には依存しない、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義またはファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義内で言及されているとおり。
\(F = \mathbb{R}\)である時、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to \mathbb{R}^d\)がある。
\(F = \mathbb{C}\)である時、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f': V \to \mathbb{C}^d\)、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f'': \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{C}^d\)、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f = f''^{-1} \circ f': V \to \mathbb{R}^{2 d}\)がある。
私たちが'\(v \in V\)周りの\(\epsilon\)-オープンボール（開球）\(B_{v, \epsilon} \subseteq V\)'のことを語る時、\(B_{v, \epsilon} := f^{-1} (B_{f (v), \epsilon})\)、ここで、\(B_{f (v), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^{2 d}\)は、\(f (v)\)周りの\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{R}^{2 d}\)上における\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'、である。
\(B_{v, \epsilon}\)は、\(v\)の\(V\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(B_{f (v), \epsilon}\)は\(f (v)\)の\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{R}^{2 d}\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
注意として、\(V\)、それは、\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{R}^{2 d}\)へホメオモーフィック（位相同形写像）、および\(F\)、それは、\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)、はハウスドルフである。
\(s\)または\(s^j\)のコンバージェンス（収束ポイント）が存在する時、当該コンバージェンス（収束ポイント）はユニークである、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題によって。
したがって、コンバージェンス（収束ポイント）たちのユニーク性について心配する必要はない。
ステップ1:
\(lim s\)は存在すると仮定し、それを\(v = v^j b_j\)と記そう。
ステップ2:
\(lim s^j\)は存在し\(v^j\)に等しいことを見よう。
\(F = \mathbb{R}\)であると仮定しよう。
\(N_{v^j} \subseteq \mathbb{R}\)を\(v^j\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(v^j\)の周りの以下を満たすある\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v^j, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{v^j, \epsilon} \subseteq N_{v^j}\)、がある。
\(v\)周りの\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v, \epsilon} \subseteq V\)に対して、以下を満たすある\(t_0 \in J\)、つまり、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s (t) \in B_{v, \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(s\)は\(v\)へコンバージ（収束）する。
それが意味するのは、\(f (s (t)) = (s^1 (t), ..., s^d (t)) \in f (B_{v, \epsilon}) = B_{f (v), \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (s^j (t) - v^j)^2 \lt \epsilon^2\)。
したがって、各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\((s^j (t) - v^j)^2 \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (s^j (t) - v^j)^2 \lt \epsilon^2\)。
したがって、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s^j (t) \in B_{v^j, \epsilon} \subseteq N_{v^j}\)、それが意味するのは、\(lim s^j = v^j\)。
したがって、\(lim f = v = v^j b_j = (lim s^j) b_j\)。
\(F = \mathbb{C}\)であると仮定しよう。
\(f''': \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}\)をカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）としよう。
\(N_{v^j} \subseteq \mathbb{C}\)を\(v^j\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(f'''^{-1} (N_{v^j}) \subseteq \mathbb{R}^2\)は\(f'''^{-1} (v^j)\)のネイバーフッド（近傍）である。
\(f'''^{-1} (v^j)\)周りの以下を満たすある\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^2\)、つまり、\(B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon} \subseteq f'''^{-1} (N_{v^j})\)、がある。
\(f''' (B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon}) \subseteq N_{v^j}\)。
\(v\)周りの\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v, \epsilon} \subseteq V\)に対して、以下を満たすある\(t_0 \in J\)、つまり、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s (t) \in B_{v, \epsilon}\)、がある、なぜなら、\(s\)は\(v\)へコンバージ（収束）する。
それが意味するのは、\(f (s (t)) = (Re (s^1 (t)), Im (s^1 (t)), ..., Re (s^d (t)), Im (s^d (t))) \in f (B_{v, \epsilon}) = B_{f (v), \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (s^j (t)) - Re (v^j))^2 + (Im (s^j (t)) - Im (v^j))^2) \lt \epsilon^2\)。
したがって、各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\((Re (s^j (t)) - Re (v^j))^2 + (Im (s^j (t)) - Im (v^j))^2 \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (s^j (t)) - Re (v^j))^2 + (Im (s^j (t)) - Im (v^j))^2) \lt \epsilon^2\)。
それが意味するのは、\(f'''^{-1} (s^j (t)) \in B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon}\)、したがって、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s^j (t) \in f''' (B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon}) \subseteq N_{v^j}\)、それが意味するのは、\(lim s^j = v^j\)。
したがって、\(lim s = v = v^j b_j = (lim s^j) b_j\)。
ステップ3:
各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(lim s^j\)が存在すると仮定し、それを\(v^j\)と記そう。
ステップ4:
\(lim s\)は存在し\(v^j b_j\)に等しいことを見よう。
\(v := v^j b_j\)を定義しよう。
\(N_v \subseteq V\)を\(v\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(v\)周りの以下を満たすある\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v, \epsilon} \subseteq V\)、つまり、\(B_{v, \epsilon} \subseteq N_v\)、がある: \(f (N_v) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(f (v)\)のネイバーフッド（近傍）であり、ある\(B_{f (v), \epsilon} \subseteq f (N_v)\)があり、\(B_{v, \epsilon} := f^{-1} (B_{f (v), \epsilon}) \subseteq N_v\)。
\(F = \mathbb{R}\)であると仮定しよう。
各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(B_{v^j, \epsilon / \sqrt{d}} \subseteq \mathbb{R}\)を\(v^j\)周りの'\(\epsilon / \sqrt{d}\)'-'オープンボール（開球）'としよう。
以下を満たすある\(t_j \in J\)、つまり、\(t_j \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s^j (t) \in B_{v^j, \epsilon / \sqrt{d}}\)がある、なぜなら、\(s^j\)は\(v^j\)へコンバージ（収束）する。
\(t_0 \in J\)を\(t_1, ..., t_d \le t_0\)を満たす任意のものとしよう、それは存在する、なぜなら、以下を満たすある\(t_{1, 2} \in J\)、つまり、\(t_1, t_2 \le t_{1, 2}\)、がある、次に、以下を満たすある\(t_{1, 2, 3} \in J\)、つまり、\(t_{1, 2}, t_3 \le t_{1, 2, 3}\)、がある、それが意味するのは、\(t_1, t_2, t_3 \le t_{1, 2, 3}\)、...、次に、以下を満たすある\(t_{1, ..., d} \in J\)、つまり、\(t_{1, ..., d - 1}, t_d \le t_{1, ..., d}\)、がある、それが意味するのは、\(t_1, ..., t_d \le t_{1, ..., d}\)、そして、\(t_0 := t_{1, ..., d}\)を取れる。
各\(j\)に対して、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s^j (t) \in B_{v^j, \epsilon / \sqrt{d}}\)、それが意味するのは、\((s^j (t) - v^j)^2 \lt \epsilon^2 / d\)、したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (s^j (t) - v^j)^2 \lt \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \epsilon^2 / d = \epsilon^2\)、それが意味するのは、\(f (s (t)) \in B_{f (v), \epsilon}\)。
したがって、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s (t) \in f^{-1} (B_{f (v), \epsilon}) = B_{v, \epsilon} \subseteq N_v\)。
それが意味するのは、\(s\)はコンバージェンス（収束ポイント）\(lim s = v\)を持つということ。
したがって、\(lim s = v = v^j b_j = (lim s^j) b_j\)。
\(F = \mathbb{C}\)であると仮定しよう。
\(f''': \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}\)をカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）としよう。
各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon / \sqrt{d}} \subseteq \mathbb{R}^2\)を、\(f'''^{-1} (v^j)\)周りの'\(\epsilon / \sqrt{d}\)'-'オープンボール（開球）'としよう。
\(f''' (B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon / \sqrt{d}})\)は\(v^j\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
以下を満たすある\(t_j \in J\)、つまり、\(t_j \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s^j (t) \in f''' (B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon / \sqrt{d}})\)、がある、なぜなら、\(s^j\)は\(v^j\)へコンバージ（収束）する。
\(t_0 \in J\)を、\(t_1, ..., t_d \le t_0\)を満たす任意のものとしよう、それは存在する、前と同様。
各\(j\)に対して、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s^j (t) \in f''' (B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon / \sqrt{d}})\)、それが意味するのは、\(f'''^{-1} (s^j (t)) \in B_{f'''^{-1} (v^j), \epsilon / \sqrt{d}}\)、それが意味するのは、\((Re (s^j (t)) - Re (v^j))^2 + (Im (s^j (t)) - Im (v^j))^2 \lt \epsilon^2 / d\)、したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (s^j (t)) - Re (v^j))^2 + (Im (s^j (t)) - Im (v^j))^2) \lt \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \epsilon^2 / d = \epsilon^2\)、それが意味するのは、\(f (s (t)) \in B_{f (v), \epsilon}\)。
したがって、\(t_0 \le t\)を満たす各\(t \in J\)に対して、\(s (t) \in f^{-1} (B_{f (v), \epsilon}) = B_{v, \epsilon} \subseteq N_v\)。
それが意味するのは、\(s\)はコンバージェンス（収束ポイント）\(lim s = v\)を持つということ。
したがって、\(lim s = v = v^j b_j = (lim s^j) b_j\)。
