リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のサブモジュール（部分加群）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアマップ（線形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のサブモジュール（部分加群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(Ker (f)\): \(= f \text{ のカーネル（核） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ker (f) \in \{M_1 \text{ の全てのサブモジュール（部分加群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f)\)はリニアコンビネーション（線形結合）の下で閉じていることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(Ker (f)\)はリニアコンビネーション（線形結合）の下で閉じていることを見よう。
\(m, m' \in Ker (f)\)および\(r, r' \in R\)を任意のものとしよう。
\(f (r m + r' m') = r f (m) + r' f (m') = r 0 + r' 0 = 0\)。
したがって、\(r m + r' m' \in Ker (f)\)。
\(0 \in Ker (f)\)。
ステップ2:
任意のモジュール（加群）に対して、当該モジュール（加群）の任意の非空サブセット（部分集合）はサブモジュール（部分加群）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(Ker (f)\)は\(M_1\)のサブモジュール（部分加群）である。
